Математика

Обсуждение, зачем математикам понадобилась степень

 

Откуда появилась степень.

 

Выражение а+а+а в математике можно заменить на а+а+а=3а.

Выражение а+а+а+а+а можно представить в виде а+а+а+а+а=5а.

То есть, если в выражении n одинаковых слагаемых, каждое из которых а, то его можно кратко записать na.  

А умножение , можно кратко записать так: а³, читается: а в кубе или третья степень числа а.

 – а в пятой степени или пятая степень числа а.

А если в выражение n одинаковых сомножителей, каждый из которых а, то мы будем писать:

 = aⁿ – n-ная степень числа а.

 

Определение степени

 

 

Определение. Степенью aⁿ называется произведение n одинаковых сомножителей,  , где n- натуральное число n={2,3,…..}; а – любое число.

 

 

Терминология

 

 

Терминология: aⁿ

 

 а – основание степени,

n – показатель степени,

aⁿ– степень, или а в n-ой степени, или n-ая степень числа а.

 

Решение типовых задач на определение степени

 

 

Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

 

1. – это по определению 4 в кубе или третья степень числа 4, 4- основание степени, 3- показатель степени. Результат:

 

Ответ: 64

2. – по определению, это x в четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что x нужно присвоить конкретное значение.

Ответ: 

3.  

Это в пятой степени,  – это основание степени, 5 – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишем это выражение по-другому:

 

Значит, выражение .

Ответ: .

4. – это в кубе, 3 – это показатель степени, – основание степени.

Ответ: 

5.  

 – вторая степень числа 13 ,  – вторая степень числа 5.

Ответ: 4225

6.

 – третья степень числа 2,  – вторая степень числа 3.

Ответ: 72

 

Примеры на вычисление степени с различными показателями

 

 

В степени aⁿ может отдельно меняться показатель степени или основание степени.

 

Пример 2: Вычислить , если

a) n=2

b) n=3

c) n=4

Решение:

a)  так как стоит четная степень, минус пропадает.

b)

c) – так как стоит четная степень, минус пропадает.

Ответ: a) 25; b)-125; c)625;

В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.

 

Примеры на вычисление степени с различными основаниями

 

 

Пример 3: Вычислить: b⁴, где

 

a) b=1

b) b=-3

c) b=

d) b=

Ответ:

a)

b)

c)

 

Определение степени с показателем 1

 

 

Вспомним, что натуральные числа - это 1,2,3 и так далее.

 

n={1,2,3,…..}

По нашему определению:

a^{n =} ,                                (1)

n={2,3,…..}

Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а¹?

a¹=a                                                   (2)

 

Примеры степеней с показателем 1

 

 

Пример.

 

()¹=)

(-2)¹=-2

3¹=3.

Итак, теперь мы знаем, что такое a^n, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.

 

Геометрические задачи, в которых участвует степень

 

 

Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.

 

Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а, где

a) а=3 см

b) а=7 см

c) а=1,5 см

Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а² или вторая степень числа а.

S=a²

Ответ:

S=3²=9 см²

S=7²=49 см²

S=1,5²=2,25 см²

Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.

 

Задачи на вычисление

 

 

И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.

 

Вычислить:

a)   

Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.

b) Вычислить при а=1 следующее выражение:

а²=1²=1

а³=1³=1

При а=-1 будет чуть посложнее:

а²=(-1)²=1

а³=(-1³⁾=-1

а⁴=(-1)⁴=1

и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.

 

Подведение итогов урока

 

 

Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию аⁿ, где n – это показатель степени, а – основание степени, n – натуральное число, а – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьная математика (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

а)  

б) 

в)

2. Вычислить (-2)ⁿ, если

а) n=2 б) n=3 в) n=4

3. Вычислить: а⁵, где

а) а=1

б) а=-2

в) а=

4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а/2, где

а) а=6 см

б) а=8 дм

в) а=3 м