Математика
Тема 10: Степень с натуральным показателем и одночлены. Профильный уровеньУрок 10: Одночлены
- Видео
- Тренажер
- Теория
Составление математической модели для решения задач
Мы знаем, что решение задачи можно разбить на два этапа: составление математической модели и расчет полученной модели (техника). Рассмотрим такой пример.
Пример 1
Два килограмма огурцов и три килограмма помидоров стоят 190 рублей. А три килограмма огурцов и два килограмма помидоров стоят 160 рублей. Сколько стоит килограмм огурцов и килограмм помидоров?
Решение:
Обозначим стоимость килограмма огурцов за 
рублей, а стоимость килограмма помидоров – за 
рублей.
Тогда первое предложение условия можно переписать в виде:
А второе предложение условия так:
Необходимо найти 
.
Получаем систему уравнений:
На этом первый этап решения (составление математической модели) окончен.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 2
В ведро и бочку налили 100 литров воды. А в два ведра и три бочки налили 290 литров воды. Каков объем одного ведра и одной бочки?
Решение:
Обозначим объем одного ведра за литров, а объем одной бочки – за литров.
Тогда первое предложение условия можно переписать в виде:
А второе предложение условия так:
Необходимо найти .
Получаем систему уравнений:
В двух разных задачах у нас получились две системы уравнений. С одной стороны, у них разные коэффициенты, но, с другой стороны, обе они являются частным случаем следующей системы уравнений:
,
где 
– произвольные числа.
Решение обеих задач мы разбили на два этапа. Первый этап – получение эквивалентной записи условия (в виде системы линейных уравнений), а второй этап – чисто математический (техника).
Для второго этапа нужно научиться решать уравнения (системы уравнений) независимо от того, что обозначают или .
Для этого понадобится умение работать с алгебраическими выражениями.
Ближайшие уроки будут посвящены отработке именно этого навыка. Мы будем работать с различными выражениями, которые могут казаться ненужными, но без них нельзя будет перейти к работе с более сложными конструкциями. Так, шестеренка сама по себе не нужна, но в комплекте с другими деталями она, например, помогает нам узнавать время, обеспечивая работу часов.
Одночлены
Рассмотрим выражение:
Если раскроем скобки (используя распределительный закон), получим:
Это выражение можно упростить: мы знаем, что 
, поэтому: 
, получаем:
Вывод формулы
Рассмотрим выражение:
Дважды используем распределительный закон:
Тогда:
Полученная в правой части сумма называется многочленом. Подробнее о работе с многочленами мы поговорим на следующем уроке.
Пока давайте поговорим о причинах выбора такого названия. Многочлен состоит из суммы нескольких членов, в нашем примере: 
. Такие «атомы», из которых сложен многочлен, называются одночленами.
Приведение одночленов к стандартному виду
Что общего у этих трех выражений? Мы видим, что они состоят из произведения числа и переменных. Например: 
– тоже одночлен. Но в таком виде работать с одночленами неудобно. Действительно, если нам встретится выражение: 
, то оно тождественно равно 0, но заметить это не так-то просто.
Вот если мы перемножим отдельно числа, а отдельно переменные (заменив произведение одинаковых переменных на их степени), то результат вычитания будет виден сразу:
Преобразование, которое мы выполнили с одночленами, называется приведением одночлена к стандартному виду:
,
где 
– числовой коэффициент, 
– буквенные переменные.
Замкнутость относительно арифметических операций
При умножении одночлена на одночлен всегда получается одночлен:
Такое свойство множества называют замкнутостью относительно операции умножения, если при умножении двух элементов множества получается элемент этого же множества.
Мы знаем другие множества, которые обладают такими свойствами.
Например, множество натуральных чисел замкнуто относительно операций умножения и сложения:
Но множество натуральных чисел не замкнуто относительно операций вычитания и деления:
(-3 – целое, не натуральное число)
(0,4 – рациональное, не натуральное число)
Относительно других операций множество одночленов не замкнуто. Если сложить два одночлена, то может получиться многочлен. Например, 
– одночлен, как и 
, но их сумма 
уже многочлен.
Множество многочленов, в свою очередь, замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
Зачем одночлены? А зачем фрукты?
Может показаться, что одночлены не нужны. Действительно, одночлены достаточно просты, но они являются частью более сложных конструкций. Чтобы работать с этими конструкциями, необходимо научиться работать с одночленами.
Введение самого понятия «одночлен» – это классификация для удобства работы.
Например, вводят слово «фрукты», хотя мы бы могли просто каждый фрукт называть яблоко, груша и т. п. Но они обладают общими свойствами, поэтому иногда их удобно назвать «фрукты».
Так же и с выражениями: 
, 
, 
. Они все разные, но обладают общими свойствами, поэтому для них придумали отдельное название – одночлены.
Упражнение 1
Определить, является ли одночленом выражение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этой таблице только в трех клетках находятся выражения, которые не являются одночленами:
– это выражение содержит сумму, поэтому не является одночленом.
– это выражение содержит деление, поэтому не является одночленом.
– это выражение содержит сумму, поэтому не является одночленом.
Упражнение 2
Привести одночлены к стандартному виду, определить их коэффициенты:
Общая схема решения таких заданий: перемножить отдельно числовые множители, отдельно – степени с одинаковыми основаниями.
1. Воспользуемся свойством степени 
и приведем одночлен к стандартному виду:
2–6. Отдельно умножим числа и степени с одинаковыми основаниями:
Коэффициент 1
Как определить коэффициент одночлена, если в его записи нет числового множителя?
Например, рассмотрим такой одночлен:
Т. к. 
, то коэффициент такого одночлена равен 1.
Другой пример:
Т. к. 
, то коэффициент такого одночлена равен -1.
Подобные одночлены
Зачем нужно уметь приводить одночлены к стандартному виду? Как мы уже убедились в рассмотренном примере, это позволяет упростить выполнение различных действий с одночленами.
Действительно, чтобы складывать или вычитать объекты, необходимо убедиться, что ониодинаковые, а это значительно проще сделать для одночленов, записанных в стандартном виде: 
(достаточно сравнить показатели степеней каждой из переменных).
Такие одночлены, у которых в стандартном виде одинаковые буквенные части, называют подобными (например, 
).
Привести подобные слагаемые – сложить все подобные одночлены в выражении:
Подобные слагаемые мы приводим с помощью распределительного закона, записанного справа налево:
Например:
Сложение и вычитание одинаковых объектов
Складывать и вычитать мы можем только одинаковые объекты. Действительно, попробуем сложить 12 яблок и 5 груш. Неизвестно, что получится.
А вот если перейти к более общему понятию «фрукты», тогда можно:
Т. е. в зависимости от необходимости мы можем считать разные объекты одинаковыми. На самом деле все яблоки разные, в природе одинаковых объектов не бывает. Но для подсчета, например, количества яблок в корзине мы этим пренебрегаем, хотя одно яблоко большое, другое маленькое, одно зеленое, другое красное, и т. п.
Степень одночлена
Степенью одночлена называют сумму показателей всех степеней переменных, которые входят в него. Степень одночлена, который является числом (не равным 0), считают равной 0. У ноль-одночлена степени нет.
Вернемся ко второму упражнению и определим степень полученных одночленов. Для этого не обязательно приводить одночлен к стандартному виду, можно просто сложить показатели степеней всех переменных, которые входят в множители:
. Степень одночлена: 
.
. Степень одночлена: 
.
. Степень одночлена: 
.
. Степень одночлена: 0.
. Степени нет, т. к. одночлен тождественно равен 0.
Если одночлены записаны в стандартном виде, то с ними несложно выполнять различные арифметические операции.
Упражнение 3. Упростить выражения:
1. 
Сначала приведем одночлены к стандартному виду:
А теперь найдем подобные и сложим их:
Получаем:
2. 
Приведем подобные:
Получаем:
3. 
Умножим отдельно числа и отдельно степени с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством степени 
:
Получаем:
4. 
Воспользуемся следующими свойствами степени 
и 
:
Получаем:
5. 
Сначала возведем первую скобку в степень, используя свойства 
и :
Теперь умножим одночлены:
Получаем:
6. 
Сначала возведем обе скобки в степень:
Теперь умножим одночлены:
Получаем:
Заключение
На уроке мы ввели новое понятие – одночлены, а также научились с ними работать. И хотя сами по себе одночлены не нужны, но без умения работать с ними мы не сможем перейти к изучению более сложных объектов.
Список литературы
- Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
- Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2014.
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2013.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
- Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
- Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)
Домашнее задание
- Привести одночлен к стандартному виду и указать его коэффициент:
- Привести подобные одночлены:
- Найти значение одночлена
при 
