Математика

Разъяснение операции умножения и возведения в натуральную степень

 

Из предыдущих уроков мы запомнили, что можно складывать и вычитать одночлены, но только подобные, а вот умножать и возводить в натуральную степень можно любые одночлены. Выясним, почему это возможно, рассмотрев примеры.

 

Пример 1: . Данный одночлен приведен к стандартному виду. Что же значит умножить его на другой одночлен?

;

И умножить все это на третий одночлен:

;

В результате мы получили одночлен – произведение чисел и степеней, в не стандартном виде. Отсюда следует, что умножать можно любые одночлены.

Приведем полученный одночлен к стандартному виду:

;

Поскольку возведение в степень это, по сути, умножение одночлена на себя какое-то количество раз, а умножать можно любые одночлены, мы имеем полное право возводить одночлены, причем снова любые, в натуральную степень.

 

Примеры

 

 

Разберем примеры.

 

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Комментарии к примерам 1-3: при умножении двух и более одночленов результатом является новый одночлен не стандартного вида, поэтому, чтобы выполнить операцию умножения, нужно только привести этот новый одночлен к стандартному виду.

Рассмотрим примеры на возведение одночлена в степень.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

 

Краткие выводы по операциям умножения и возведения в степень

 

 

Комментарии к примерам 1-4: при возведении одночлена в степень необходимо сначала возвести в степень его коэффициент, а потом буквенную часть. Для этого следует вспомнить правило возведения степени в степень, а именно, что показатели степеней перемножаются. Кроме того, при решении примеров 3 и 4 следует вспомнить, что «-1» в любой четной степени даст «1», а в нечетной – «-1».

 

 

Решение прямой и обратной задач на возведение одночлена в степень

 

 

Рассмотрим типовые задачи:

 

Пример 1:  и

Поскольку «2» - это натуральная степень, а мы можем возводить одночлен в любую натуральную степень, выполним первое действие:

;

Для решения второго действия нужно вспомнить, что любое число в нулевой степени это единица, при условии, что это число не ноль, так как  не имеет смысла, то есть, мы имеем право написать:

;

Пример 2: вместо знака «*» поставить такой одночлен, чтобы равенство выполнялось:

;

Коэффициент в левой части пока равен трем, а в правой – девяти, значит, в левой части не хватает тройки; переменная b в левой части стоит во второй степени, а в правой в третьей, значит левую часть нужно умножить на b в первой степени:

;

Рассмотрим следующую типовую задачу. Представить данный одночлен в виде квадрата некоторого одночлена:

Пример 1: ;

Нужно определить, какой одночлен возвести в квадрат, чтобы получить заданный.

Чтобы получить 81, нужно 9 возвести в квадрат, то есть коэффициент искомого одночлена 9.

Чтобы получить , нужно  возвести в квадрат, итак, мы имеем:

;

Но возникает вопрос, однозначен ли данный нами ответ? Можно ли подобрать другой такой одночлен, который при возведении в квадрат даст заданный одночлен?

Для ответа на этот вопрос вспомним, что , то есть существует еще один одночлен, которые при возведении в квадрат даст нам заданный – это .

Пример 2:

Данный пример решается аналогично предыдущему.

 

Решение задачи на упрощение

 

 

Рассмотрим задачу на упрощение

 

Пример 1:

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели операции умножения одночленов и возведения их в натуральную степень, научились решать некоторые типовые задачи.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Интернет-портал Ikt.oblcit.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: выполнить умножение:

а) ; б); в); г);

Задание 2: возвести в степень:

а) ; б); в); г);

Задание 3: представить одночлен  в виде:

а) произведения трех одночленов стандартного вида;

б) произведения двух одночленов, один из которых ;

в) квадрата одночлена стандартного вида;

г) куба одночлена стандартного вида.