Математика

Тема 10: Степень с натуральным показателем и одночлены. Профильный уровень

Урок 16: Деление одночлена на одночлен

Теория

Заметили ошибку?

Введение

Разделить число на число – значит найти такое число , которое при умножении на дает .

Таким образом, важной операцией для успешного понимания деления одночленов является операция умножения.

Умножение одночлена на одночлен

Для того чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо помнить следующие моменты:

1. При умножении одночленов коэффициенты умножаются.

2.При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются (свойство степеней).

3. Если нет числового коэффициента, то полагают, что он равен 1.

4. При умножении одночленов получается одночлен.

Пример:

Деление одночлена на одночлен

Разделить одночлен на одночлен – значит найти такой одночлен , который при умножении на дает одночлен .

Пример:

Таким образом,

Правило.

Для деления одночлена на одночлен необходимо сначала разделить коэффициенты, а затем буквенные части одночленов, причем для каждой переменной соответствующая степень делимого делится на степень делителя (вычитаются их показатели).

Примеры

Замечание. Если в делителе содержится буква, которая отсутствует в делимом, то деление выполнить не удастся, так как результатом такого деления будет не одночлен.

Запись деления в виде дроби

Пример

После сокращения дроби получим:

Операция деления одночленов аналогична сокращению дробей.

Замечание: не является одночленом.

Нестандартные ситуации

Коэффициент в делимом равен 1.
Коэффициент может быть дробным числом, при этом результат деления остается одночленом.

Пользуемся свойством степеней

Выводы

На данном уроке мы рассмотрели деление одночлена на одночлен. Пришли к выводу, что если в делителе есть буква, которая отсутствует в делимом, то деление выполнить не получится, так как результат не будет одночленом. Аналогично показатель степени в делимом должен быть больше или равен показателю степени в делителе, иначе в результате показатель будет отрицательный, а результат – не одночлен.

Пример

3. .

Пример

Дано: .

Вопрос. Каким может быть показатель степени , чтобы в результате деления одночленов получился одночлен?

Решение. Предполагаем, что все степени могут быть только натуральными. Чтобы разделить на , должно выполняться . А чтобы разделилось на , должно быть . Решив систему получим, что показатель степени может принимать значения от 2 до 7 включительно, т. е. 2, 3, 4, 5, 6, 7.