Математика

Введение

 

На этом уроке мы будем решать задачи, связанные с одночленами. Мы умеем выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. На эти действия мы и будем решать задачи.

 

 

Пример 1. Сложение одночленов

 

 

Выполнить сложение одночленов: .

 

Решение. Прежде всего вспомним, что складывать и вычитать, приводя подобные, можно только одночлены с одинаковой буквенной частью. Принцип здесь очень прост. Если у вас было  яблока и  яблок, то вместе у вас  яблок. А если было  яблока и  груш, то вы не можете говорить ни про  яблок, ни про  груш. Наконец, если было  яблока и  груши, а потом вам дали еще  яблока и  груш, то стало  яблок и  груш, то есть мы складываем яблоки с яблоками, груши – с грушами. Точно так же и с одночленами: складывать (или вычитать) коэффициенты мы можем только у тех одночленов, у которых буквенная часть полностью совпадает (в том числе и степени переменных).

Чтобы увидеть подобные слагаемые, запишем каждый одночлен в стандартном виде (упорядочив переменные по алфавиту для удобства). Будет: .

Найдем и приведем подобные слагаемые: .

Можно заметить, что, по сути, мы применили распределительный закон два раза, вынеся за скобки  и  соответственно: .

То есть получаем, что .

 

Пример 2. Умножение одночленов

 

 

Умножить одночлены: .

 

Решение. Напомним, что при умножении одночлена на одночлен нужно перемножить коэффициенты отдельно, а буквенные части отдельно – к каждой букве применяем свойство степеней, складывая показатели.

Получаем: .

 

Пример 3. Возведение одночленов в степень

 

 

Умножить одночлены: .

 

Решение. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно его коэффициент возвести в эту степень, а также каждую переменную возвести в степень. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются.

Сначала возведём выражение в скобках в куб, а затем применим уже повторенное свойство умножения одночлена на одночлен. Получаем: 

.

 

Пример 4. Деление одночленов

 

 

Разделить одночлены: .

 

Решение. В этом случае мы делим коэффициент делимого на коэффициент делителя, а затем последовательно делим степень каждой переменной (буквы). При делении показатели степени вычитаются.

Сначала возведем одночлены в степень, а потом выполним деление. Получаем:

.

 

Пример 5. На все арифметические операции

 

 

Упростить выражение: .

 

Решение

1. Первым действием приведем подобные в первых скобках и возведем полученный результат в куб: 

2. Возведем в четвертую степень второй множитель: 

3. Перемножим результаты первого и второго действия: 

4. Поделим одночлены: 

5. Отнимем одночлены, которые получились в третьем и четвертом действиях:

Получаем, что: .

---

Пример

Упростить выражение: 
при условии, что  такое, что в первой скобке можно привести подобные слагаемые.

Решение. Найдем . Чтобы вычесть одночлены, их буквенные части должны совпадать с точностью до показателя степени, то есть , откуда . Тогда .

Имеем:

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы вспомнили все основные действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), и повторили, как их выполнять, на различных примерах.

 

 

Список литературы

1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.

2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.

3. Э.Г. Гельфман и др., Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

3. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Замените символ  таким одночленом, чтобы выполнялось равенство: .