Математика

Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника.

Рассмотрим некоторые виды треугольников и познакомимся со свойствами этих треугольников.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника.

Если у треугольника все стороны равны, то этот треугольник называется равносторонним.

 

 

Треугольник АВС – равнобедренный. АВ и АС – боковые стороны, ВС – основание. Треугольник DEF – равносторонний.

У равнобедренного треугольника углы при основании равны.

 

 

Докажем это.

Дано: △ABC равнобедренный, AB = AC.

Доказать: ∠В = ∠С

Доказательство:

Проведем в треугольнике АВС биссектрису AD.

Рассмотрим треугольники АВD и ACD.

1. АВ=АС (по условию);
2. ∠ВАD = ∠CAD (т.к. AD – биссектриса);
3. АD – общая сторона;

△АВD = △ACD (по первому признаку).

Следовательно, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Обратимся к доказательству предыдущего свойства.

Мы доказали, что ⊿ABD = ⊿ACD. Следовательно, ВD = CD (то есть AD – медиана △ABC) и ∠ADВ = ∠ADС. Но т.к. они смежные, то ∠ADВ + ∠ADС = 180°. Следовательно ∠ADВ = ∠ADС = 90° (то есть AD – высота ⊿AВС).

Справедливы и следующие утверждения:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.