Математика

Повторение понятия «равные треугольники», введение первого признака равенства треугольника

 

На предыдущем занятии мы ввели понятие «равные треугольники» – треугольники, которые можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.

 

Рис. 1. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ равны

Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А₁, отрезки АВ и А₁В_1,  АС и А₁С₁ совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадёт с .

Теорема доказана.

 

Решение задач

 

 

Рассмотрим несколько задач.

 

Пример 1:

Отрезки АС и ВD точкой их пересечения О делятся пополам. Докажите, что .

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Отметим, что углы АОВ и СОD равны, как вертикальные, а стороны ВО и АО треугольника АОВ соответственно равны сторонам OD и ОС треугольника СОD. Поэтому треугольники АОВ и СОD равны по первому признаку.

Пример 2:

Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что .

Решение:

Рис. 3. Чертеж к примеру 2

В предыдущей задаче мы доказали, что  по первому признаку. Из этих соображений мы можем сделать вывод, что AB = CD, ∠OAB = ∠OCD.

Теперь рассмотрим треугольники. У них АС – общая сторона, AB=CD, а ∠СAB = ∠АCD (по доказанному). Поэтому  по первому признаку равенства. Что и требовалось доказать.

Пример 3:

Рис. 4. Чертеж к примеру 3

На рисунке 3 отрезки АВ и АС равны. Угол 1 равен углу 2. Известно, что АС = 15 см, DC = 5 см. Доказать, что . Найдите длины отрезков BD и АВ.

Треугольники  равны по первому признаку, ведь ∠1 = ∠2, АВ = АС, а AD – общая сторона у обоих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство некоторых их соответствующих элементов, поэтому: BD = CD = 5 см,

АВ = АС = 15 см.

Ответ: 5 см, 15 см.

Пример 4:

На рисунке 5 ВС = AD. Угол 1 равен углу 2, AD = 17 см, CD = 14 см. Доказать, что . Найдите АВ и ВС.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 4

Треугольник АВС равен треугольнику СDА.  по первому признаку. ∠1 = ∠2, СВ = АD, а AC – общая сторона у обоих треугольников. Из этого следует, что , .

Ответ: 14 см, 17 см.

                                  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Тема урока "Первый признак равенства треугольников" Источник
2. Треугольник. Справочник Источник

 

Рекомендованное домашнее задание

1.  № 36. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2.   Докажите, что треугольники ВОА и ЕОС равны. Отрезки ВЕ и AС точкой пересечения делятся пополам.

3.  Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его биссектрисе.

4.  *На сторонах угла М отложены равные отрезки МА и МС и проведена его биссектриса, на которой отмечена точка В. Докажите, что ВМ является биссектрисой угла АВС.