Математика

Определение окружности и ее элементов

 

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые равноудалены от заданной точки.

 

На рисунке 1 изображена окружность.

Рис. 1. Окружность

Сокращенная запись заданной окружности – это Окр (O, r), что читается: «Окружность с центром в точке О и радиусом r». Точка, от которой остальные точки являются равноудаленными, называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр и точку, лежащую на окружности, называется радиусом. Если соединить две точки, лежащие на окружности, можно провести отрезок, который называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Таким образом, существуют следующие обозначения:

О – центр окружности;

OM = r – радиус окружности;

OM = ON = r – радиусы окружности;

MN – хорда;

АМ – диаметр;

АM = 2r – связь между радиусом и диаметром.

 

Решение задач

 

 

Любые две точки рассекают окружность на две дуги, например: дуги NLM и NAM для заданных точек N и M.

 

Пример 1: На рисунке 2 изображена окружность. Определить центр, радиус, хорды, диаметр и возможные дуги.

Решение:

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Определим основные элементы данной окружности:

О – центр окружности;

OE = OD = OA = OC – радиусы окружности;

EF, BA – хорды;

DС – диаметр.

В данный момент вспомним определение круга. Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Совершенно понятно, что различие окружности от круга следующее: окружность – это линия, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает данная линия. К примеру, на рисунке 3 изображен круг.

                                                                   

Рис. 3. Круг

Пример 2: На рисунке изображена окружность с диаметрами АВ и СD. Докажите, что хорды АС и BD равны. Докажите, что хорды ВС и АD равны. Докажите, что углы BАD и BСD равны.

                                                  

Рис. 4. Чертеж к примеру 2

Решение:

Для начала выясним, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как указанные отрезки – радиусы одной и той же окружности.  Будем доказывать указанные утверждения цепочками треугольников. Например,  по первому признаку, так как ОВ = ОА как радиусы, СО = ОD аналогично,  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АС = ВD.

Далее докажем, что  аналогично по первому признаку. ОD = ОА, СО = ОВ как радиусы, а  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АD = ВC.

Далее докажем, что  по третьему признаку. BD – общая сторона у треугольников, АD = CВ по доказанному утверждению в п. 2, АВ = СD как диаметры окружности. Из равенства треугольников следует, что .

Что и требовалось доказать.

Пример 3: отрезок МК – диаметр окружности, а РМ и РК – равные хорды. Найдите угол РОМ.

                                          

Рис. 5. Чертеж к примеру 3

Решение:

По определению,   – равнобедренный, так как РК = РМ. Поскольку ОК – ОМ – радиусы окружностей, то РО – медиана, проведенная к основанию . По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой, соответственно,.

Ответ: 90°.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы.

1. Справочный портал calc.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
3. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
4. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.