Математика

Тема 10: Алгебраические дроби. Профильный уровень

Урок 2: Виды чисел

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Десятичная позиционная система счисления

Что общего между этими картинками (см. рис. 1)? Их объединяет количество предметов: 3 яблока, 3 машины, 3 двери и т. д.

Рис. 1. 3 яблока, 3 машины, 3 двери

Для обозначения количества были придуманы натуральные числа: . Для записи натуральных чисел мы используем десятичную позиционную систему счисления. Десятичной она называется потому, что для записи чисел в ней используется 10 знаков – цифр: . Позиционной – потому что вклад цифры в число зависит от ее позиции в этом числе: и – разные числа ( и ).

Преимущества такой системы: общепринятость (все договорились считать десятками, хотя можно считать по или по – принципиальной разницы нет). Кроме того, числа удобно сравнивать – достаточно сравнивать разряды начиная с самого большого (см. рис. 2).

Рис. 2. Поразрядное сравнение чисел

Более подробно о преимуществах такой записи можно узнать, перейдя по ссылкам:

Обратите внимание, что на практике при подсчете мы всегда используем округление. Не существует двух одинаковых стульев, но мы отбрасываем неважные для данной конкретной задачи различия (например, для нас важно, сколько человек на них можно посадить) и тогда можем считать количество – 2 стула.

Целые числа

Поскольку математика занимается универсальными инструментами, которые можно использовать для решения сразу многих различных задач, то мы будем опускать названия предметов и работатьтолько с их количествами.Действительно, , независимо от того, что мы складываем – яблоки, стулья или машины.

При сложении двух натуральных чисел всегда будет получаться натуральное число (в таких случаях говорят, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения):

Но иногда нужно решить обратную задачу – зная сумму и одно из исходных чисел, восстановить второе. И здесь может возникнуть ситуация, при которой решения задачи на множестве натуральных чисел нет. Например, какое число нужно добавить к 5, чтобы получилось 3? Возникает необходимость расширить понятие числа отрицательными числами и числом 0 (которое обозначает отсутствие количества).

Отрицательное число – число, которое в сумме с противоположным ему положительным дает ноль:

Натуральные числа, противоположные им, а также ноль образуют множество целых чисел (см. рис. 3). Складывая и вычитая целые числа, мы всегда будем получать целые числа.

Рис. 3. Множество целых чисел

Сложение нескольких одинаковых чисел мы для упрощения записи стали записывать в виде умножения. Покупая жвачек по рублей, вы заплатите рублей = рублей. В зале, в котором рядов по мест в каждом, всего мест = мест.

Нас не интересуют непосредственно объекты, только результат: . Поскольку умножение – это многократное сложение, то логично, что результатом умножения целых чисел будет целое число.

Рациональные числа

Как и в случае со сложением и вычитанием, возникают задачи, в которых необходимо выполнить операцию, обратную умножению: когда известно произведение и один из множителей и надо найти второй множитель (например, ). Обратная операция называется делением. И снова результат деления целых чисел может не содержаться в множестве целых чисел (например, ).

Может возникнуть вопрос – почему в обоих случаях обратное действие сложнее, чем прямое (такая ситуация будет наблюдаться практически для любой математической операции)? Это можно пояснить на таком примере: представьте, что вы в незнакомом городе вышли из дома и хотите куда-то уйти. Это несложно, достаточно просто идти в любую понравившуюся сторону. А вот вернуться обратно – уже не такая простая задача. Если вы не запоминали маршрут, то без карты вряд ли удастся обойтись.

Почему нельзя ограничиться целыми числами, чтобы записать результат деления двух целых чисел? Разделить поровну 6 яблок на 5 человек, не разрезая яблоки, не получится.

Получится, только если разрезать на части (см. рис. 4).

Рис. 4. Разделить поровну 6 яблок на 5 человек нельзя, не разрезав их

Такая же ситуация с тортами. Но как разрезать яблоки или торты, мы знаем. А как разрезать целые числа? Математика работает с общими универсальными инструментами, поэтому ввели новый вид чисел – дробные числа (дроби).

Разделить 6 яблок на 5 человек можно по-разному. Например, каждое из 6 яблок разрезать на 5 одинаковых частей. Тогда каждому достанется 6 раз по яблока или яблока (см. рис. 5).

Рис. 5. При делении 6 яблок на 5 человек каждому досталось 6 раз по яблока

Или раздать каждому по 1 яблоку, а лишнее разрезать на 5 одинаковых частей. Получится: яблока (см. рис. 6).

Рис. 6. При делении 6 яблок на 5 человек каждому досталось по 1 целому яблоку и яблока

Итак, результатом деления будет:

В общем случае если один из множителей равен , а результат умножения – , то неизвестный множитель равен :

Такие числа вида , где и – целые, называют рациональными. Но, поскольку деление на ноль не определено, то . Кроме того, если и оба отрицательны, то в результате деления все равно получится положительное число. Поэтому для точности формулировки выбирают не из целых, а из натуральных чисел: .

В итоге получаем определение: рациональные числа – это числа, которые можно представить в эквивалентном виде , где – целое число, а – натуральное.

Отметим, что любое целое число также является рациональным числом, поскольку его можно представить в виде дроби со знаменателем :

Почему деление на ноль не определено

Ноль был введен как часть большого механизма под названием «целые числа» для обозначения отсутствия чего-то. Ноль облегчает счет и запись чисел, но нулевого количества нет, на него не укажешь пальцем, поэтому сказать, сколько нулей содержится в другом числе, нельзя.

Разделить 3 на 0 – означает сказать, сколько раз в 3 ничего нет. Ответить на вопрос, сколько в гараже квадратных метров, можно, но ответить, сколько в нем пустоты, нет.

Если бы был придуман какой-то смысл для выражения a/0, то это противоречило бы некоторым известным свойствам и определениям, например свойствам умножения, поэтому деление на ноль не определяют.

Можно все же попробовать разделить 3 на 0. Деление – это действие, обратное умножению, т. е.:

Но при умножении на ноль всегда получается ноль, т. е. такого a просто не существует.

Рассмотрим случай деления 0 на 0, чтобы не возникало ощущения, что он особый и отличается от деления 3 на 0:

Равенство будет справедливым для любого a, потому что .

Но результат деления должен быть конкретным числом. Снова получаем противоречие. Поэтому деление на 0 в математике не определено.

Смешивая вещества в растворе или готовя блюда по рецепту, мы сталкиваемся с пропорцией. Например, 10 мл уксуса на 100 мл воды, 1 стакан гречки на 2 стакана воды. Последнюю информацию можно представить и по-другому: гречки нужно взять в 2 раза меньше, чем воды, или от количества воды.

Дроби являются удобным инструментом для представления величин в различных единицах измерения. Например, расстояние мы можем определить как 2 м и 40 см, а можем записать как м = м. Или же массу 1 кг 500 г можем представить как кг или кг. Перевод в одни единицы удобен тем, что мы, опять же, можем опустить единицы измерения и работать только с числами.

Обратите внимание, что говорить о делении на целые и дробные числа есть смысл только в контексте математических инструментов. В реальной жизни метра можно записать как см, т. е. выразить целым числом. Т. е. на практике, как только мы к числам добавляем единицы измерения, вид записи числа будет определяться выбором этих самых единиц.

Рациональные числа и их свойства мы подробно изучали в младших классах. Если вы не помните, как выполнять различные действия с дробями, то пересмотрите соответствующие уроки:

Степени с отрицательными и нулевыми показателями

Мы говорили, что основные преимущества десятичной позиционной системы счисления – удобство выполнения различных операций с числами (сравнение, эффективные алгоритмы выполнения арифметических операций – сложение и умножение в столбик и т.д.).

Выполнять действия с дробями, записанными в виде , не всегда удобно. Сравнить, что больше – или – легко: . А, например, или ? Так сразу и не скажешь. То же касается сложения и вычитания обыкновенных дробей: с одинаковыми знаменателями – легко, с разными – сложнее.

Мы умеем преодолевать это препятствие – приводить дроби к одинаковому знаменателю. Но это несложно сделать для двух, трех дробей:

А что делать, когда их много?

Нужен какой-то универсальный эквивалентный вид, в котором сравнивать, а также выполнять действия с дробями было бы быстро и эффективно.

И здесь мы расширяем уже имеющийся удобный инструмент – десятичную систему записи. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде:

1. конечной десятичной дроби, например:

2. бесконечной периодической десятичной дроби, например:

Почему такой вид записи удобен? Потому что для него уже готовы эффективные алгоритмы сравнения, сложения и вычитания, умножения и деления в столбик.

Ничего нового мы не придумали: десятичные дроби – это обыкновенные дроби, которые привели к общему знаменателю – степени – и записали в удобном виде, например:

Причина выбора именно 10 в качестве такого знаменателя понятна – чтобы в десятичной системе счисления можно было записывать не только целую, но и дробную часть числа.

Вспомним, что в десятичной записи целого числа, крайняя правая цифра – это количество единиц, следующая слева цифра – количество десятков, далее – сотен и т. д.:

Или с помощью степеней можно записать это так:

В десятичной дроби аналогично, но в обратном порядке: первая цифра после запятой показывает количество десятых частей, следующая справа – количество сотых и т. д.:

Тогда число можно записать как:

А можно ли все слагаемые записать с участием степеней 10? Можно, и для этого нужно ввести определение отрицательной степени числа. Понятие отрицательной степени числа является расширением понятия степени. Откуда оно появляется?

Вспомним свойство степени:

Например:

Но мы вводили это свойство только для чисел, где , ведь именно тогда все множители в знаменателе сокращались.

В случае же, если , получалось:

Например:

Если же , то получается:

Воспользуемся стандартным приемом, который мы применяли уже не раз – расширим понятие степени, но сделаем это так, чтобы все уже полученные нами свойства сохранились.

Обобщим свойство для любых и .

1. в случае показатель степени будет отрицательный, например:

2. в случае получим нулевую степень:

Получим определение нулевой степени:

И определение отрицательной степени:

Обозначив (тогда , получим:

Таким образом, деление на можно заменить умножением на :

Несложно убедиться, что все остальные свойства степени для степени с целым отрицательным показателем будут выполняться. Проверьте это на конкретных примерах для свойств: .

Вернемся к десятичной записи дробного числа:

Заменим знаменатели на степени 10:

Число единиц представим как и используем понятие степени с отрицательным показателем:

Итак, мы расширили понятие десятичной записи числа, используя степень с нулевым и отрицательным целым показателем.

Стандартный вид числа

Но иногда сравнивать числа даже по их десятичной записи чисел не очень удобно. Например, сравните числа и или и . Неудобно считать количество нулей, правда? Чтобы быстро можно было сравнить числа с большим количеством знаком в записи, вводят понятие стандартного вида числа.

Стандартным видом числа называется запись числа в виде:

, где

В таком виде сравнивать числа просто: чем больше показатель степени , тем больше число. Если показатели степени одинаковые, то достаточно сравнить основания – числа .

Попробуйте самостоятельно привести к стандартном виду числа, указанные выше, и сравнить их. Если у вас возникнут с этим трудности, то со сравнением можно ознакомиться ниже.

Сравнение чисел в стандартном виде

В стандартном виде числа , т. е. это число с одной ненулевой цифрой перед запятой. Чтобы удобно перевести число в стандартный вид, перенесите в нем запятую так, чтобы выполнялось это условие. Например, для числа получим:

Чтобы получить исходное число, нужно перенести запятую на знаков вправо, т. е. умножить на одиннадцать раз, т. е. на . Получаем:

Аналогично для второго числа:

Степени равны, поэтому сравниваем множители: , значит, второе число больше первого:

Для числа получим:

Тут, чтобы получить исходное число, нужно запятую перенести влево на знаков, т.е. разделить на . По определению отрицательной степени, делению на можно заменить умножением на . Получим:

Аналогично для второго числа:

Сравниваем показатели степеней : , значит, второе число больше:

Иррациональные числа

Итак, рациональные числа – это те, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел. Но существуют такие числа, которые представить в таком виде нельзя. Их называют иррациональными.

В жизни не существует идеальных объектов. Например, квадрата со стороной 1. Потому что, как только вы начнете измерять сторону такого квадрата, у вас возникнет погрешность, т. к. вы будете использовать линейку (см. рис. 7).

Рис. 7. При использовании линейки возникает погрешность

Но в математике используют идеальные модели реальных объектов. Без таких моделей решать практические задачи было бы невозможно, т. к. жизнь бесконечна и все факторы учесть нельзя. Мы анализируем и отбрасываем несущественные для данной задачи вещи и рассчитываем полученную для задачи модель. Если анализ был корректным, то получаем решение с той степенью точности, которая нас устраивает.

Поэтому в геометрии изучают свойства таких идеальных объектов, как квадрат со стороной 1. И при его изучении выяснилось, что длину диагонали такого квадрата нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Чтобы обозначить ее длину, ввели новое число, которое обозначили как (см. рис. 8).

Рис. 8. Диагональ квадрата со стороной 1 равна

Если бы мы измеряли эту диагональ с помощью линейки с любой заданной точностью, то получали бы такие приближенные значения ее длины: ; ; ; и т. д., до бесконечности. Т. е. число можно представить только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Число содержит в себе бесконечно точную информацию о длине диагонали квадрата, но для практических расчетов мы всегда будем использовать его приближенное значение с необходимой нам степенью точности, например .

Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных, или вещественных, чисел (см. рис. 9).

Рис. 9. Множество действительных (вещественных) чисел

Много ли иррациональных чисел? Говорят, что множество иррациональных чисел всюду плотно относительно множества рациональных чисел, т. е. какие бы два рациональных числа мы ни взяли, между ними найдется бесконечно много иррациональных, например (см. рис. 10):

Рис. 10. Между двумя рациональными числами находится бесконечно много иррациональных

Квадратный корень

К иррациональным числам относятся известные математические константы и (с ними вы познакомитесь в старших классах). Кроме того, к ним приводит вычисление значений различных математических функций (которые мы тоже будем постепенно изучать в школьном курсе математики – синус, логарифм и т. д.), а сегодня мы отдельно поговорим об извлечении квадратного корня из числа (которое и привело нас к числу ) .

Чтобы понять, зачем ввели понятие квадратного корня, вспомним то, о чем мы уже говорили сегодня: для каждого действия можно ввести обратное. Для сложения – вычитание, для умножения – деление, причем, обратите внимание, обратное действие сопровождалось некоторыми трудностями: для вычитания нам пришлось ввести отрицательные числа, для деления – рациональные числа. Процесс умножения мы можем выполнить строго по алгоритму, а вот при делении в столбик приходится подбирать числа. Это обычная ситуация (вспомните наш пример с прогулкой по неизвестному городу). Легко разбить чашку, но обратно ее склеить гораздо сложнее. Просто добавить молоко в кофе, а попробуйте их разделить. И даже народная мудрость гласит: слово не воробей, вылетит – не поймаешь.

Такая же ситуация и с возведением в квадрат. Возвести в квадрат число легко – просто умножить его само на себя. А вот как по известному результату найти, какое число возвели в квадрат? Только подбором. Например, результат – число . Какое число нужно возвести в квадрат, чтобы получить ? Подбираем, это будет или . А если результат ? Тут придется дольше подбирать. Для удобства можно воспользоваться готовой таблицей квадратов. Находим в ней число и оказывается, что это квадрат числа (см. рис. 11). Если мы возведем в квадрат , мы также получим .

Рис. 11. При помощи готовой таблицы квадратов можно быстро найти число, которое возвели в квадрат

А что нужно возвести в квадрат, чтобы получить число ? Начинаем подбирать: , мало, а – уже много. Попробуем что-то посередине: – уже ближе, но все равно много. – еще ближе, но теперь мало. Можно продолжать подбирать дробные числа, приближаясь к , но понятно, что, умножая конечные десятичные дроби, мы никогда в точности не получим целого числа. Т. е. число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить , может быть записано только в виде бесконечной десятичной дроби, т. е. должно быть иррациональным: . Причем, как и в ранее рассмотренных случаях, таких чисел будет два: одно положительное, другое отрицательное: .

Можно было бы все так и оставить и называть эти числа «положительное число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить » и «отрицательное число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить ». Но, согласитесь, это очень длинно и неудобно. Поэтому принято называть их «квадратным корнем из » или просто «корнем из » и обозначать:

В общем случае – это число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить :

С более строгим определением квадратного корня вы можете ознакомиться в ответвлении.

Определение квадратного корня

Формально квадратным корнем из числа называют такое число, квадрат которого равен . Т. е. в это понятие входят числа и :

А арифметическим квадратным корнем из числа называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен (т. е. подходит только число ). Это формально, а на практике произносить фразу «арифметический квадратный корень из » достаточно долго. Поэтому обычно ее заменяют просто на «корень из », подразумевая при этом именно арифметический квадратный корень из .

Обратите внимание, что при возведении в квадрат любого действительного числа всегда получается неотрицательное число (минус на минус дает плюс: ). Поэтому мы будем говорить об извлечении квадратного корня только из неотрицательных чисел.

На самом деле можно расширить понятие числа по аналогии с отрицательными, дробными и иррациональными числами, введя новый вид чисел – квадрат которых равен отрицательному числу. Такой шаг приведет к появлению нового множества – множества комплексных чисел (, – мнимая единица), но сейчас мы о них говорить не будем. Мы ограничим возможность извлечения квадратного корня – будем его извлекать только из неотрицательных чисел:

Мы привели рассуждения, почему число должно быть иррациональным. Но это можно доказать строго. Как понятно, иррациональные – это нерациональные числа. Идея доказательства: доказать, что число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Тогда оно не будет рациональным, а, значит, будет иррациональным. Строгое доказательство – ниже.

Строгое доказательство того, что – иррациональное число

В математике есть метод доказательства утверждений, который называется «доказательством от противного». Суть в следующем: пусть необходимо доказать некоторое утверждение . Делается предположение, что противоположное утверждение верно. Основываясь на этом предположении , нужно найти противоречие. Тогда утверждение окажется неверным, значит, верным является утверждение .

Применим этот метод для доказательства того, что – иррациональное число.

Доказательство (от противного).

Предположим обратное: – рациональное число. Тогда, по определению рационального числа, его можно представить в виде несократимой дроби:

Если же дробь сократима, то ее можно сокращать, пока не получим несократимую.

Умножим обе части равенства на:

Возведем в квадрат:

По свойству степени:

По определению корня:

Заметим, что в левой и правой частях равенства стоят целые выражения. Левая часть делится на , значит, и правая часть делится на . Значит, – четное число (ведь нечетное при возведении в квадрат даст нечетное).

Тогда можно представить в виде , где – некоторое целое число. Тогда:

Делим на :

Правая часть делится на , значит, и левая часть делится на , т. е. – четное число.

Получаем, что и – четные числа, т. е. дробь можно сократить на . А, по предположению, – несократимая дробь. Получаем противоречие, значит, предположение, что – рациональное число, неверно.

Тогда – иррациональное число.

Доказано.

Заключение

Подведем итоги.

Натуральные числа придумали для счета и обозначения количества:
Множество целых чисел включает в себя все натуральные числа, противоположные и ноль.
Множество рациональных чисел включает в себя целые и дробные числа и состоит из чисел вида , где – целое число, – натуральное.
Числа, которые нельзя представить в таком виде, называют иррациональными.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 8 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 8 класс. Учебник. М.: «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «math10.com» (Источник)
Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

Домашнеезадание

1. Сравнить числа:

2. Вычислить:

3. Сравнить числа:

Урок 1

Вернуться к теме Урок 3

Видеоурок: Виды чисел по предмету Алгебра за 8 класс.