Математика

Определение и свойства степеней с натуральным показателем

 

Вспомним, что такое степень с натуральным показателем. По определению:

 

Вспомним также свойства степеней с натуральным показателем:

1. ;

2.  ();

3. ;

4. ;

5.  ().

Постараемся ввести степень с отрицательным показателем так, чтобы свойства для степени с натуральным показателем остались верными и для степеней с отрицательными показателями.

 

Степень с нулевым показателем

 

 

Сначала введём степень с показателем 0. Для этого в свойстве 2 положим: . Получим:

 

 ()

()

Таким образом, получаем следующий вывод: для любого ненулевого основания его нулевая степень должна равняться 1.

Или: .

 

Степень с отрицательным показателем

 

 

Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Для этого в свойстве 2 положим , получим:

 

 ()

 ()

Получаем такое определение степени с отрицательным показателем:

, .

Мы вводили определение так, чтобы все свойства степени с натуральным показателем сохранялись. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Поэтому в дальнейшем мы можем смело ими пользоваться.

 

Решение примера

 

 

Рассмотрим несколько примеров на применение полученного определения и свойств степени.

 

 Пример 1.

 а) ;

б) ;

в) ;

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: . Докажите её самостоятельно.

г) .

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: . Докажите её самостоятельно.

 

Пример с приведением различных чисел к степеням с одинаковым основанием

 

 

Пример 2.

 

Представить следующие выражения в виде степеней числа 2:

.

Решение:

.

Последнее выражение можно было преобразовать и по-другому: .

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой:  Докажите её самостоятельно.

Второй пример очень важен: мы научились сводить разные основания к одному. Это полезно при решении различных примеров.

 

Решение более сложных примеров

 

 

Пример 3. Вычислить:

 

а) ;

б) .

Последнее выражение можно было преобразовывать и другим способом:

Аналогичные идеи работают не только с числами, но и с буквенными выражениями. Рассмотрим несколько примеров.

 

Решение примеров с буквенными переменными

 

 

Пример 4.

 

 а) ;

б) ;

в) ;

г)

На этом уроке мы ввели понятие степени с отрицательным показателем, выяснили, что все свойства степеней с натуральными показателями остаются верными и для нового вида степеней. Также рассмотрели ряд примеров на применение данных свойств.  

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы – квадратные уравнения.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Вся элементарная математика (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Старая школа (Источник).

 

 Домашнее задание

1. №106-112, Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь: а) , б) , в) , г) .

3. Представьте в виде степени с основанием 10 число: а) , б) , в) , г) .

4. Найдите значение выражения: а) , б) .