Математика
Тема 14: Четырёхугольники. Профильный уровеньУрок 9: Решение задач по теме "Параллелограмм и трапеция" (продолжение)
- Видео
- Тренажер
- Теория
Тема: Четырехугольники
Урок: Решение задач по теме: «Параллелограмм и трапеция» (продолжение)
1. Решение задач по теме «Параллелограмм»
На прошлом уроке мы уже рассмотрели ряд задач, связанных с параллелограммом и трапецией. На этом уроке продолжим решать различные примеры на эту тему.
Пример 1.
Периметр параллелограмма равен
,
. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла
? Найти отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Дано: – параллелограмм;
,
– биссектриса
.
Решение:
Рис. 1
Пусть . Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен
. Тогда:
.
Как же выяснить: какую сторону пересечёт биссектриса ?
Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть биссектриса пересекает сторону
(или её продолжение) в точке
. Тогда:
(по определению биссектрисы),
(свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых). Отсюда:
– равнобедренный. Значит,
. Значит,
.
Мы практически ответили и на второй вопрос задачи: .
Ответ: биссектриса пересекает сторону
и делит её на отрезки
и
.
Пример 2.
Стороны параллелограмма равны . Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Дано: – параллелограмм;
– биссектрисы.
Найти:
Решение:
Рис. 2
Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники – равнобедренные (так как
,
). Получаем, что
. Тогда:
.
Ответ: .
Пример 3.
Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.
Дано: – равнобедренный треугольник (
);
.
Доказать:
Доказательство:
Рис. 3
– параллелограмм (по определению – так как:
). Докажем, что треугольники
– равнобедренные. Действительно:
– как соответственные. С другой стороны,
(свойство равнобедренного треугольника). Значит,
и треугольники
– равнобедренные. Тогда,
, что и требовалось доказать.
Доказано
2. Решение задач по теме «Трапеция»
Пример 4.
В трапеции (
– большее основание): диагональ
перпендикулярна боковой стороне
, а
. Периметр трапеции равен
,
. Найти длину большего основания трапеции.
Дано: – трапеция (
– большее основание),
,
,
.
Найти:
Решение:
Рис. 4
Рассмотрим треугольник : он прямоугольный (так как по условию
, в нём
. Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
, следует, что:
. В прямоугольном треугольнике с острым углом
катет, лежащий против этого угла, в
раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание
, то
.
– равнобедренная трапеция. Значит,
. Кроме того, по свойству соответственных углов:
– равнобедренный. Поэтому:
.
Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен :
. Значит, большее основание трапеции:
.
Ответ: .
Пример 5.
Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
Дано: – трапеция (
),
.
.
Доказать:
Доказательство:
Рис. 5
Выполним дополнительное построение: через точку проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. В результате образуются два четырёхугольника:
и
, которые являются параллелограммами (по определению – у них противоположные стороны попарно параллельны). Воспользуемся свойством параллелограмма:
. Но по условию:
. Но углы
вместе образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна
. Значит:
, а
– прямоугольный.
Обозначим: . Так как
и
– параллелограммы, то:
. Кроме того:
. Отсюда:
и
– медиана
. Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть:
, что и требовалось доказать.
Доказано.
Пример 6.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.
Дано: – трапеция (
),
,
– высота,
– средняя линия.
Доказать:
Доказательство:
Рис. 6
Выполним дополнительное построение: через точку проведём прямую, параллельную диагонали
. Эта прямая пересечёт продолжение основания
в точке
.
Четырёхугольник – параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит:
. Но в равнобедренной трапеции диагонали равны:
– равнобедренный.
Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что . Но, по свойству соответственных углов:
– прямоугольный.
– высота равнобедренного треугольника
, а значит, и его медиана (свойство равнобедренного треугольника). Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит:
.
Но так как – параллелограмм:
. Получаем:
(свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.
Доказано.
На этом уроке мы рассмотрели различные задачи, в которых использовались свойства параллелограмма и трапеции.
На следующих уроках мы начнём изучать различные виды параллелограммов.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Фестиваль педагогических наук "Открытый урок" (Источник).
- Terver.ru (Источник).
- Fmclass.ru (Источник).
Домашнее задание
- Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой.
- Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.
- Меньшее основание равнобедренной трапеции равно
. Найдите большее основание трапеции, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит её на отрезки, один из которых равен
.