Математика

 

 

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

 

Урок: Преобразование выражений с корнями (внесение множителя под знак корня)

 

1. Повторение определения и основных свойств квадратного корня

 

 

Начнем урок с повторения теории.

 

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

.

Из определения следует тождество  при .

Пример 1. Вычислите , т. к. .

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Уравнение может показаться очевидным и выполненным всегда при всех значениях переменной . Действительно, мы уже знакомы с тождеством, которое представляет собой это уравнение, однако, важно помнить, что оно выполнено при , что и будет являться решением уравнения. Это тот случай, в котором решением уравнения может являться не одно или несколько чисел, как мы привыкли, а целая числовая полуось.

Ответ..

Основные свойства квадратного корня:

а)

б)

в)

Рассмотрим две важнейшие типовые задачи урока, на методе решения которых будет базироваться подход к другим подобным задачам.

 

2. Две типовых задачи на внесение множителя под квадратный корень

 

 

Пример 3. Внесите множитель под знак корня: а) , б) .

 

Решение. Задачи отличаются только знаком выражения, которое является множителем перед корнем, но это принципиальный аспект дальнейшего решения.

а) Внесение положительного множителя под знак корня. Если , то , тогда .

б) Внесение отрицательного множителя под знак корня. Если , то  (т. к. ), тогда .

Ответ.; .

Как видно из приведенного примера, знак вносимого под корень выражения важен, и если он отрицательный, то перед корнем после внесения множителя должен остаться минус, в случае внесения положительного множителя, значение выражения остается положительным.

Когда нам известны два принципиальных подхода к решению задач, можем перейти к различным примерам.

 

3. Различные примеры на внесение множителя под квадратный корень

 

 

Пример 4. Внесите множитель под знак корня: а) , б) , в) .

 

Решение. а) Т. к. множитель перед корнем положительный, то .

б) Т. к. множитель перед корнем отрицательный, то .

в) В этой задаче может показаться, что решение имеет различные варианты, т. к. знак выражения перед корнем не известен, но следует заметить, что такое же выражение находится и под знаком корня, т. е. оно неотрицательно по определению квадратного корня (). Имеем вариант для внесения неотрицательного числа .

Ответ.; ; .

Пример 5. Внесите множитель под знак корня и упростите: а) , б) .

Решение. Задачи похожи, однако, отличаются знаками вносимых под корень множителей, подход к решению нам уже известен, применим его.

а) , тогда .

б) , тогда .

Ответ..

Пример 6. Внесите множитель под знак корня и упростите: а) , б) .

Решение. а) По определению квадратного корня , т. к. если произведение трех одинаковых чисел неотрицательно, то и эти числа неотрицательны, тогда вносим под корень неотрицательное число: .

б) По определению квадратного корня , тогда вносим под корень отрицательное число: .

Ответ.; .

На следующем уроке рассмотрим более сложные задачи на преобразования выражений с корнями, в которых нам понадобятся знания обо всех основных свойствах квадратного корня.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Старая школа (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Обучающие курсы (Источник).

 

Домашнее задание

1. №318, 319, 332, 339, 340, 343. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Внесите множитель под знак корня: а) , б) , в) .

3. Внесите множитель под знак корня, если известно, что : а) , б) .

4. Расположите в порядке возрастания числа: а) , б) .