Математика

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

При решении любой задачи необходимо сначала перевести её условие на математический язык, составить нужное уравнение (или не одно, а несколько уравнений – систему уравнений), а затем решить его. Поговорим о таких задачах, в которых уравнения будут получаться не линейные, как это было раньше, а квадратные. Или сводящиеся к квадратным.

Три основных типа текстовых задач в математике – на движение, на работу и на смеси. На смеси очень редко бывают задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, так что о них сейчас говорить не будем. Рассмотрим задачу на движение.

Задача 1. Катер прошел 5 км по течению реки и 8 км по озеру, затратив на весь путь 1 час. Скорость течения равна 3 км/ч. Найти скорость катера по течению.

В подобных задачах лучше всего за х брать то, что спрашивают. Тогда мы не ошибемся, если, найдя х, сразу запишем его в ответ.

Итак, пусть х км/ч – скорость катера по течению. Тогда скорость катера по озеру меньше ровно на скорость течения – ведь в озере течения нет. Значит, по озеру катер двигался со скоростью (х-3) км/ч. При этом мы также знаем пути, которые катер прошёл по реке и по озеру. Вспомним уравнение движения: S = vt. Найдем время по формуле t = s:v. Время движения по озеру 8:(x-3), а по реке 5:x.

Чтобы было удобнее, запишем все данные в следующую таблицу.

	S, км	v, км/ч	t, ч
По течению	5	$x$	$\frac{5}{x}$
По озеру	8	$x-3$	$\frac{8}{x-3}$

 

Теперь вспомним, что в общей сложности катер плыл 1 час, получаем уравнение:

$\frac{8}{x-3}+\frac{5}{x}=1$ .

Умножим обе части уравнения на $x(x-3)$ и приравняем числители при условии $x(x-3)\ne 0$.

$8x+5\left(x-3\right)=x(x-3)$

$8x+5x-15=x^2-3x$

$x^2-16x+15=0$

$D={(-16)}^2-4\bullet 1\bullet 15=256-60=196$

$\sqrt{D}=14$

$x_1=\frac{-\left(-16\right)-14}{2}=1$

$x_2=\frac{-\left(-16\right)+14}{2}=15$

Первый ответ не подходит, так как скорость катера по течению не может быть меньше скорости течения. Значит, ответ: 15 км/ч.

Универсальный алгоритм для решения текстовых задач:

1. Переписать условие на математический язык.
2. Составить уравнение или систему уравнений.
3. Решить полученное уравнение или систему.
4. Проанализировать полученное решение и записать ответ.

Так, в рассмотренной задаче про катер получилось два значения неизвестной, и чисто алгебраически оба они являются решениями уравнения (системы). Однако для одного из значений скорость катера против течения реки получается отрицательной – это и есть анализ: в ответ записываем только второе значение.

Задача 2. Бассейн наполняется двумя трубами за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн первая труба, если она это делает на 15 ч быстрее, чем вторая?

Для начала вспомним формулу для вычисления объёма проделанной работы: А = vt. Обрати внимание на то, что здесь есть полное соответствие задачам на движение: путь – объём работы, скорость – производительность, время – время.

Эту задачу можно решить по алгоритму. Сначала перепишем условие на математическом языке.

Работа по наполнению бассейна объёмом A выполнена двумя трубами одновременно с общей скоростью v₁+v₂ за время t = 10 ч.

Первая труба наполняет бассейн (объём работы A) со скоростью v₁ за время t₁.

Вторая труба наполняет бассейн (объём работы A) со скоростью v₂ за время t₂.

Разница между временем t₂ и временем t₁ равна 15 (t₂>t₁ на 15 ч).

Обрати внимание на то, что в подобных задачах на совместную работу производительности складывать можно, а времена – нет.

Второй шаг – составляем систему:

$\left\{\begin{array}{c}A=10\left(v_1+v_2\right)\\ A=v_1{t}_1\\ A=v_2{t}_2\\ t_2-t_1=15\end{array}\right.$

Так как трубы заполняют один и тот же бассейн, то есть выполняют одинаковую работу, то можно принять работу за 1. Обрати внимание, речь не идет об 1 литре или кубометре, 1 в данном случае – это 1 бассейн. Так что и производительность в этом случае будет измеряться не в литрах в час, а в бассейнах в час, то есть какую часть бассейна заполнит труба за час.

Третий шаг – решаем систему:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{10}=\frac{v_1+v_2}{A}\\ \frac{1}{t_1}=\frac{v_1}{A}\\ \frac{1}{t_2}=\frac{v_2}{A}\\ t_2=15+t_1\end{array}\right.$

Получаем:

$\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_1+15}=\frac{1}{10}$

Умножим обе части на $10t_1(t_1+15)$

$10\left(t_1+15\right)+10t_1=t_1(t_1+15)$

$10t_1+150+10t_1=t_1^2+15t_1$

$t_1^2-5t_1-150=0$

Решая уравнение, получим два корня: 15 и -10.

И теперь анализ: время не может быть отрицательным, так что ответ – 15 часов.