Математика

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение x²-7х+10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение, которое имеет корни.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член буквой q:

$x^2+\mathit{px}+q=0$

$D=p^2-4q$

$x_1=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}$

$x_2=\frac{-p+\sqrt{D}}{2}$

Найдем сумму корней:

$x_1+x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}+\frac{-p+\sqrt{D}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p$

Найдем произведение корней:

$x_1·x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}·\frac{-p+\sqrt{D}}{2}=\frac{(-p-\sqrt{D})(-p+\sqrt{D})}{4}=\frac{p^2-D}{4}$

В числителе применили формулу разности квадратов. Теперь подставим вместо дискриминанта выражение для него:

$\frac{p^2-D}{4}=\frac{p^2-p^2+4q}{4}=\frac{4q}{4}=q$

Мы доказали теорему Виета, названную по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Ее можно записать и короче:

В уравнении вида ${\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{px}\mathit{+}\mathit{q}\mathit{=}\mathit{0}$ выполняется

$\left\{\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{\mathit{1}}\mathit{+}{\mathit{x}}_{\mathit{2}}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{p}\\ {\mathit{x}}_{\mathit{1}}\mathit{·}{\mathit{x}}_{\mathit{2}}\mathit{=}\mathit{q}\end{array}\right.$

Справедливо утверждение и обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х²+px+q = 0.

Рассмотрим применение теоремы Виета.

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения x²-3x+2 = 0.

Так как сумма корней равна 3, а произведение равно 2, очевидно, что корни равны 1 и 2:

1+2 = 3

1·2 = 2

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1²-3·1+2 = 0

и

2²-3·2+2 = 0

Ответ: 1; 2.

Пример 2. Найти корни уравнения x²+8x+15 = 0

Решение:

x₁+x₂ = -8

x₁·x₂ = 15

Методом подбора находим что корни равны -3 и -5:

(-3)+(-5) = -8

(-3)·(-5) = 15

Ответ: -3; -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 3. Составить квадратное уравнение по его корням x₁ = -3, x₂ = 6.

Решение: так как x₁ = -3, x₂ = 6 – корни уравнения x²+px+q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x₁+x₂) = -(-3+6) = -3

q = x₁·x₂ = -3·6 = -18

Следовательно, искомое уравнение:

x²-3x-18 = 0

Ответ: x² - 3x - 18 = 0.