Математика
Тема 7: Квадратные уравненияУрок 4: Дробные рациональные уравнения
- Видео
- Тренажер
- Теория
Дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида
,
где и — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь с переменной в знаменателе.
В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:
-
Все слагаемые переносим в одну сторону.
-
Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).
-
После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю».
В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.
Начнем с рассмотрения примеров общего случая.
Решить дробно-рациональные уравнения:
-
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю». Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:
⇔
Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:
;
;
Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:
|
Это — квадратное уравнение. Его корни ; .
Оба корня удовлетворяют условиям ; .
Ответ: 5; -6.
-
Замечаем, что знаменатель первой дроби раскладывается на удобные множители: .
Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
⇔
; — при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.
|
Из двух корней квадратного уравнения
; — второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.
Ответ: -4.
-
Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:
⇔
Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ: .
Уравнение — частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, которое не входит в множество решений данного уравнения — 3.
Ответ: x — любое число, кроме 3.
-
Замечаем в знаменателе третьей дроби формулу сокращённого умножения и пользуемся ей для разложения на множители. Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
⇔
; — при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.
Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.