Математика

Тема 7: Квадратные уравнения

Урок 4: Дробные рациональные уравнения

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

Дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида
fx=g(x),

где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь с переменной в знаменателе.

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:

  1. Все слагаемые переносим в одну сторону.

  2. Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

  3. После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю».

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

Решить дробно-рациональные уравнения:

  1. 4x-2-3x+4=1

    Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

    4\(x+4)x-2-3\(x-2)x+4-1\(x-2)(x+4)=0

    4x+4-3x-2-(x-2)(x+4)(x-2)(x+4)=0

    4x+16-3x+6-(x2+4x-2x-8)(x-2)(x+4)=0

    x+22-x2-4x+2x+8(x-2)(x+4)=0

    Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю». Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

    -x2-x+30(x-2)(x+4)=0-x2-x+30=0(x-2)(x+4)0

    Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

    (x-2)(x+4)0

    x-20; x+40

    x2; x-4

    Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

    -x2-x+30=0 |(-1)

    x2+x-30=0

    Это — квадратное уравнение. Его корни x1=5; x2=-6.

    Оба корня удовлетворяют условиям x2; x-4.

    Ответ: 5; -6.

  2. x+2x2-2x-xx-2=3x

    Замечаем, что знаменатель первой дроби раскладывается на удобные множители: x2-2x=x(x-2).

    Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

    x+2\1x(x-2)-x\xx-2-3\(x-2)x=0

    x+2-x2-3(x-2)x(x-2)=0

    x+2-x2-3x+6x(x-2)=0

    -x2-2x+8x(x-2)=0-x2-2x+8=0x(x-2)0

    x(x-2)0

    x0; x2 — при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

    -x2-2x+8=0 |(-1)

    Из двух корней квадратного уравнения

    x2+2x-8=0

    x1=-4; x2=2 — второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

    Ответ: -4.

  3. x2-x-6x-3=x+2

    Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

    x2-x-6\1x-3-x\(x-3)-2\(x-3)=0

    x2-x-6-xx-3-2(x-3)x-3=0

    x2-x-6-x2+3x-2x-6x-3=0

    0xx-3=00x=0x-30

    Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ: x3.

    Уравнение 0x=0 — частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, которое не входит в множество решений данного уравнения — 3.

    Ответ: x — любое число, кроме 3.

  4. 5x-2-3x+2=20x2-4

    Замечаем в знаменателе третьей дроби формулу сокращённого умножения и пользуемся ей для разложения на множители. Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

    5\(x+2)x-2-3\(x-2)x+2-20\1x-2x+2=0

    5x+2-3x-2-20(x-2)(x+2)=0

    5x+10-3x+6-20(x-2)(x+2)=0

    2x-4(x-2)(x+2)=02x-4=0(x-2)(x+2)0

    (x-2)(x+2)0

    x2; x-2 — при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

    2x-4=0

    x=2

    Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

    Ответ: корней нет.