Математика

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Напомним, что рациональные уравнения – это уравнения, у которых левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

Очень часто решение задач сводится к решению дробных рациональных уравнений. Решим несколько задач, которые сводятся к решению таких уравнений.

Задача 1. Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь.

Решение: обозначим за хзнаменатель дроби. Тогда$(х-3)$ – числитель этой дроби. Значит, исходная дробь имеет вид $\frac{х-3}{х}$. Так как по условию задачи сумма дроби$\frac{х-3}{х}$и обратной ей дроби$\frac{х}{х-3}$ в 7,25 раза больше исходной дроби, то можем составить уравнение:

$\frac{x-3}{x}+\frac{x}{x-3}=7,25\frac{x-3}{x}$

Представим 7,25 в виде неправильной дроби:

$\frac{x-3}{x}+\frac{x}{x-3}=\frac{29(x-3)}{4x}$

Умножим обе части уравнения на $4x(x-3)$ при $x\ne 0$, $x\ne 3$, чтобы избавиться от знаменателей:

$4\left(x-3\right)\left(x-3\right)+4x^2=29(x-3)(x-3)$

$4x^2-24x+36+4x^2=29x^2-174x+261$

$21x^2-150x+225=0$

$D={(-150)}^2-4\bullet 21\bullet 225=3600$

$\sqrt{D}=60$

$x_1=\frac{-\left(-150\right)-60}{2\bullet 21}=\frac{90}{42}=\frac{15}{7}$ не соответствует условию задачи.

$x_2=\frac{-\left(-150\right)+60}{2\bullet 21}=\frac{210}{42}=5$

Значит, 5 – знаменатель, 5-3 = 2 – числитель.

Ответ: $\frac{2}{5}$ – исходная дробь.

Задача 2. Велосипедисту надо проехать 30 км. Он выехал на полчаса позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 2 км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста. Тогда расстояние в 30 км велосипедист проедет за $\frac{30}{х}$ часов. Если бы велосипедист выехал вовремя, то его скорость была бы равна$(х-2)$ км/ч. И тогда расстояние в 30 км он проехал бы за $\frac{30}{х-2}$ часов. По условию задачи, велосипедист выехал на 30 минут позже намеченного срока, или, что тоже самое, на $\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$ часа позже. Составим уравнение:

$\frac{30}{x-2}-\frac{30}{x}=\frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2x(x-2)$ при $x\ne 0$, $x\ne 2$, чтобы избавиться от знаменателей:

$30\bullet 2x-30\bullet 2\left(x-2\right)=x(x-2)$

$60x-60x+120=x^2-2x$

$x^2-2x-120=0$

$D={(-2)}^2-4\bullet 1\bullet \left(-120\right)=4+480=484$

$\sqrt{D}=\sqrt{484}=22$

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-22}{2}=-10$ не соответствует условию задачи.

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+22}{2}=12$

Ответ: 12 км/ч.

Задача 3. Лодка прошла вниз по реке 42 км, а затем 27 км против течения, затратив на весь путь 15 часов. Найти скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.

Пусть х (км/ч) – скорость течения реки. Тогда$(5+х)$ км/ч скорость моторной лодки по течению реки и$(5-х)$ км/ч скорость моторной лодки против течения. Известно, что моторная лодка прошла по течению реки 42 км, а значит, затратила на это расстояние $\frac{42}{5+х}$ часов. Затем против течения лодка прошла 27 км, затратив на это расстояние $\frac{27}{5-х}$ часов. По условию известно, что на весь путь моторная лодка затратила 15 часов. Составим уравнение:

$\frac{42}{5+x}+\frac{27}{5-x}=15$

Умножим обе части уравнения на $(5+x)(5-x)$ при $x\ne -5$, $x\ne 5$, чтобы избавиться от знаменателей:

$42\left(5-x\right)+27\left(5+x\right)=15(5+x)(5-x)$

$210-42x+135+27x=375-15x^2$

$5x^2-5x-10=0$

$x^2-x-2=0$

По теореме Виета

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=1\\ x_1\bullet x_2=-2\end{array}\right.$

Следовательно, $x_1=-1$; $x_2=2$.

Ответ: 2 км/ч