Математика

 

 

Тема: Окружность

 

Урок: Точка пересечения высот треугольника

 

1. Теорема о пересечении высот треугольника

 

 

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра.

 

Задан треугольник , скажем для определенности, что он остроугольный (см. Рис. 1). Ничего не изменится, если мы возьмем тупоугольный треугольник.

, , .

Доказать, что

Рис. 1

Доказательство:

Мы хотим свести доказательство к предыдущим уже доказанным теоремам, например, теореме о пересечении серединных перпендикуляров.

Для этого проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам (см. Рис. 2):

через вершину А – прямую ,

через вершину В – прямую ,

через вершину С – прямую .

Рис. 2

Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства.

, значит, . Аналогично . Отсюда четырехугольник  является параллелограммом.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .

Аналогично ,  по построению. Четырехугольник  – параллелограмм. Отсюда , .

, , отсюда . Таким образом, точка А – середина отрезка , а значит, высота АА₁ в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.

Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка , ВВ₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина , СС₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.

Мы доказали теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника, самостоятельно вы можете доказать эту же теорему, если треугольник не является остроугольным. Например, если треугольник прямоугольный, ортоцентр совпадает с вершиной, угол при которой прямой, т.к. две из высот совпадают с катетами, а третья выходит из этой вершины (см. Рис. 3).

Рис. 3

Рассмотрим шуточную задачу, которая позволит вспомнить многие важные факты.

 

2. Решение задачи

 

 

Задача

 

Задана окружность с центром в точке О и диаметром АВ. Точка С вне окружности. Пользуясь только линейкой, опустить перпендикуляр на прямую АВ из точки С (см. Рис. 4).

Рис. 4

Решение:

Проведем прямую АС, получаем точку М пересечения проведенной прямой с окружностью.

Проведем прямую ВС, получаем точку N пересечения проведенной прямой с окружностью.

Проведем прямые AN и ВМ, получим их точку пересечения Н (см. Рис. 5).

Доказать, что .

Рис. 5

Доказательство:

Мы изучили теоремы о вписанных углах и следствия из них. Согласно одному из таких следствий, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, отсюда:

.

Напомним, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Итак, , отсюда ВМ – высота треугольника . Также, AN – высота треугольника .

Две высоты треугольника пересекаются в точке Н, мы знаем, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит, и третья высота пройдет через точку Н. отсюда СК – высота треугольника, СК⊥АВ, что и требовалось доказать.

 

3. Выводы по уроку

 

 

Итак, на данном уроке мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника и решили шуточную задачу, в которой вспомнили некоторые важные геометрические факты.

 

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Home-edu.ru (Источник).
2. Mat.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1 – доказать теорему о пересечении высот для прямоугольного треугольника.
2. Задание 2 – доказать теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника.
3. Задание 3 – задана окружность с центром О и радиусом АВ. Точка С лежит внутри окружности. При помощи только линейки построить перпендикуляр из точки С на прямую АВ.