Математика

Определение понятия вектора

 

Многие физические величины характеризуются не только числом, но и направлением. Например, скорость, сила и т.д. Такие величины называются векторными величинами, или векторами. Нам необходимо ввести понятие вектора, понятие равенства векторов, определить правила сложения векторов, умножения вектора на число и т.д.

 

Итак, начнем с определения. Пусть задан отрезок АВ, и он имеет конкретную длину. Если считать, что точка А – это начало отрезка, а точка В – его конец, получаем направленный отрезок, который и будет называться вектором АВ (см. Рис. 1).

Рис. 1

Имеем право назвать данный вектор одной буквой, в таком случае .

При работе с векторами обязательно нужно ставить стрелки или черточку над именем вектора.

Определение

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая концом, называется направленным вектором или отрезком.

Теперь если мы знаем, что вектор  обозначает какую-то силу, то мы знаем, куда эта сила направлена и какова она по величине.

Мы ввели понятие вектора, теперь нужно определить равенство векторов.

Представим шоссе, по которому машины в соседних рядах едут с разными скоростями.

Пусть первая машина едет со скоростью , скорость второй в два раза больше, то есть , скорость третьей еще больше, и т.д. (см. Рис. 2).

Рис. 2

Таким образом, рассмотрим вектора, лежащие на параллельных прямых. Такие вектора носят название коллинеарные. Машины на встречной полосе едут в обратную сторону с произвольной скоростью, не важно, большой или малой, но все равно и эти векторы будут коллинеарными заданным, так как те и другие лежат на параллельных прямых. 

 

Коллинеарные векторы

 

 

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Нулевой вектор, то есть вектор нулевой длины, считается коллинеарным любому вектору.

 

Если мы имеем векторы  и , лежащие на параллельных прямых, они могут быть сонаправленными или противонаправленными (см. Рис. 3, 4).

Векторы  и  коллинеарны противонаправлены:

Рис. 3

Векторы  и  коллинеарны сонаправлены:

Рис. 4

Теперь если заданы векторы  и , они коллинеарны и сонаправлены и длины их равны, то мы имеем равные векторы.

 

Понятие равенства векторов

 

 

Векторы называются равными, если они сонаправлены и длины их равны.

 

Длина вектора называется модулем и обозначается так: .

Итак, из определения равенства векторов мы получаем:

.

Пример 1 – задача 738: отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с двумя из этих точек, выпишите эти векторы, укажите их начало и конец.

Соединим точки А и В, получаем вектор , А – начало, В – конец, аналогично получаем вектора  и .

Поменяем для вектора  начало и конец между собой, получим вектор , В – начало, В – конец, аналогично получаем вектора  и  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Данная задача показывает нам, что любые две точки могут быть соединены отрезком, и если в нем выбрать начало и конец, мы получим вектор.

Пример 2 – задача 749: точки S и T являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции. Равны ли векторы  и ? Векторы  и ? Векторы  и ? Векторы  и ?

Напомним, что вектор – это направленный отрезок, а все ранее изученные нами фигуры – треугольники, четырехугольники, в частности, трапеции, состоят из отрезков, каждый из которых можно представить, как вектор.

Согласно условию, трапеция равнобедренная, отсюда .

Стороны NL и MK параллельны как основания трапеции (см. Рис. 6). Если векторы направлены по этим прямым, то они называются коллинеарными, они могут быть сонаправленными либо противонаправленными. 

Рис. 6

Очевидно, что векторы  и  не равны, так как они даже не коллинеарны – не принадлежат параллельным прямым (см. Рис. 7).

Векторы  и  коллинеарны, т.к. принадлежат одной прямой – боковой стороне трапеции; данные векторы сонаправлены. Кроме того, в условии сказано, что S – середина MN, отсюда модули векторов равны. Таким образом, данные векторы равны между собой.

Рис. 7

Векторы  и  не равны, хотя их длины одинаковы – трапеция по условию равнобедренная (см. Рис. 8). Но данные два вектора не являются сонаправленными по определению трапеции (трапецией называется такой четырехугольник, у которого две стороны – основания – лежат на параллельных прямых, а две остальных стороны не параллельны).

Рис. 8

Векторы  и  равны, так как Т – середина KL, отсюда , таким образом, модули векторов равны. Также очевидно, что данные векторы коллинеарны – они принадлежат одной прямой, боковой стороне трапеции KL, и сонаправлены.  Таким образом, заданные два вектора равны (см. Рис. 9).

Рис.  9

 

Решение задач

 

 

Пример 3 – задача 751: определить вид четырехугольника ABCD, если , .

 

Данный четырехугольник – ромб. Обоснуем. Мы знаем, что векторы  и  равны, отсюда следует, что равны их модули – то есть длины отрезков, векторы сонаправленны и коллинеарны, то есть принадлежат параллельным прямым, таким образом, заданный четырехугольник – параллелограмм (см. Рис. 10). Данный факт обоснован признаком параллелограмма: если две стороны четырехугольника принадлежат параллельным прямым и длины их равны, то данный четырехугольник –

Рис. 10

параллелограмм. Согласно второму условию, , соседние стороны параллелограмма равны друг другу, а такой параллелограмм является ромбом.

Итак, мы начали изучение большой и важной темы – векторы, то есть такие величины, для которых важна не только величина, но и направление. Мы дали определение вектора, ввели понятие коллинеарных векторов, сонаправленных и противонаправленных векторов. Рассмотрели понятие равенства векторов.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. Oldskola1.narod.ru (Источник).
3. Webmath.ru (Источник).

 

Домашнее задание

Задание 1: выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор , который изображает перемещение из начальной точки в конечную.

Задание 2: начертите два неколлинеарных вектора  и . Изобразите несколько векторов:

          а) сонаправленных с вектором ;

          б) сонаправленных с вектором ;

          в) противонаправленных вектору ;

          г) противонаправленных вектору ;

Задание 3: начертите два вектора: имеющих равные длины и неколлинеарных; имеющих разные длины и сонаправленных; имеющих равные длины и противонаправленных.