Математика

Введение

 

Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Всем понятен смысл слов: «Площадь кухни – ». То есть территория, занимаемая кухней, в восемь раз больше эталона – квадрата со стороной 1 м. Здесь имеем полную аналогию с измерением длины. Измерение длины – сравнение ее с эталоном, а именно: с 1 мм, 1 см, 1 м и т. д. Измерие площади – сравнение ее с эталоном площади. Эталон площади – квадрат со стороной – 1 мм, 1 см, 1 м и т. д.

 

Обозначаются эти эталоны следующим образом :  (один миллиметр квадратный), ,  и т. д.

Наша ближайшая цель – уточнить понятие площадь многоугольника и научиться вычислять площади многоугольников, в том числе площади треугольников, параллелограммов, трапеций и так далее.

 

Площадь многоугольника

 

 

Площадь многоугольника – это положительное число , которое показывает, сколько раз эталон площади укладывается в данной фигуре, например в данном многоугольнике. Число  может быть натуральным, рациональным, иррациональным, любым положительным числом (см. Рис. 1).

 

Рис. 1. Площадь и эталон площади

Нам понятно, когда площадь равна, например, . А если площадь равна , что это означает? Сколько раз эталон укладывается в данной фигуре? Уточнение, конечно, необходимо, но пока что мы вернемся к простейшим задачам.

Решать простейшие задачи будем сравнением с эталоном.

 

Задача 1

 

 

Дан многоугольник со сторонами 2 и 3 см. Найти его площадь (см. Рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Мы лишь уточним, что является эталоном. Эталоном является квадратный сантиметр, он уложился в этом прямоугольнике ровно 6 раз (см. Рис. 3).

Рис.3. Решение задачи 1

Ответ: .

Немного усложним задачу.

 

Задача 2

 

 

По рисунку 4 найти площадь трапеции , треугольника .

 

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2

Ответ сразу можно написать, высчитывая, сколько раз квадратный сантиметр уложился в данную трапецию или в данный треугольник.

a) .

b)  – то есть в этом треугольнике уместилась ровно половина эталона.

Уже в этих простейших задачах мы явно или неявно используем важнейшее свойство площади. Например, прямоугольник составлен из нескольких частей, площадь каждой части нам известна, площади этих частей складываются, и получается площадь прямоугольника.

Мы не имеем пока формулы для вычисления площади трапеции, площади треугольника, но тем не менее мы сумели найти площадь и трапеции и треугольника с помощью сравнения с эталоном.

 

Задача 3

 

 

Сколько раз квадратный миллиметр помещается в квадратном сантиметре?

 

Ответ понятен, и он иллюстрируется рисунком 5.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3

По существу мы имеем связь эталонов.

Заметим, что один сантиметр – это лишь 10 миллиметров

Итак, мы уточнили, что такое площадь многоугольника – это положительное число , которое показывает, сколько раз эталон площади укладывается в данном многоугольнике. Мы рассмотрели некоторые задачи на нахождение площади многоугольника. Мы их решали сравнением с эталоном.

Однако этот метод не всегда удобен. Как найти площадь треугольника, если длины его очень большие? Одна вершина в Москве, другая в Сочи, третья во Владивостоке. Нужны формулы для вычисления площадей, например площади треугольника, четырехугольника, многоугольника. Вывод формул будет дан на следующих уроках, он основан на свойствах площадей. Эти свойства мы рассмотрим здесь. Мы их дадим без доказательств, но с разъяснениями.

 

Свойства площади

 

 

Первое свойство

 

Равные многоугольники имеют равные площади.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Если фигуры равны, то эталон укладывается в той и другой фигуре одинаковое число раз. Равные фигуры имеют равные площади.

Второе свойство

Пусть многоугольник разрезан линиями на отдельные многоугольники, у которых общими являются точки сторон, тогда площадь исходного многоугольника равна сумме площадей этих многоугольников.

На рисунке 6 изображена трапеция , она состоит из трех фигур.

Рис. 6. Второе свойство площади

Третье свойство

Этим свойством мы раньше широко пользовались.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Пусть сторона квадрата равна , т. е. длина квадрата при выбранной единице измерения равна , тогда площадь квадрата равна:

Пояснение

Имеем эталон длины, а значит, эталон площади. Длина стороны квадрата содержит  эталонов длины. А площадь квадрата содерит  штук эталонов площади.

Еще раз подчеркнем, что эти свойства мы принимаем без доказательств.

Мы уже пользовались этими свойствами при решении задач на трапецию, на треугольник, которые решали сравнением с эталоном.

Площадь прямоугольника мы находили так: разрезали его на квадраты, площади квадратов складывали. Площадь трапеции мы находили с помощью сложения ее отдельных частей. Таким образом, мы пользовались свойством площади. Если многоугольник разрезать на отдельные многоугольники, то площадь фигуры всего многоугольника равна сумме площадей отдельных частей.

 

Заключение

 

 

Итак, мы рассмотрели понятие «Площадь многоугольника», метод непосредственного нахождения площади сравнением с эталоном, а также свойства площадей. Всё это будет далее использовано при выводе формул для вычисления площади многоугольника, например площади квадрата, параллелограмма и так далее.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7–9 классы – 15-е изд., М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)

2. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «Уроки математики» (Источник)

           

Домашнее задание

1. Что такое площадь?

2. Какие основные свойства площади?

3. Площадь параллелограмма  – 30 кв. см. Чему равна площадь треугольника ?