Математика

Решение задачи №1

 

Дано:

 

∆ АВС – прямоугольный; гипотенуза равна 2, один катет в 2 раза больше другого. Найти катеты (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение.

АВ = 2. Обозначим, что ВС = х, АС = 2х.

По теореме Пифагора:

х² + (2х)² = 2²;

5х² = 4;

х² = ;

х = . – ВС

АС = 2х = .

Ответ: ВС =  АС= .

 

Решение задачи №2

 

 

Найти медианы прямоугольного треугольниками с катетами 6 и 8 (рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

АС = 8; ВС = 6.

Решение.

Найдем гипотенузу АВ.

АВ =

Стороны ∆ АВС: 6, 8, 10.

Они в 2 раза больше, чем стороны египетского треугольника: 3, 4, 5.

Заметим более общий факт. Если имеем прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с и каждую сторону умножаем на коэффициент k, то треугольник со сторонами ka, kb, kc будет прямоугольным. Этим часто пользуются при составлении задач.

Начнем с медианы, проведенной с угла С. По свойствам медианы СМ, АВ = АМ + МВ = 2 АМ.

Мы знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Если вы хотите узнать, как доказывается этот факт, то вы можете пройти по этой ссылке.

Таким образом, СМ = .

Проведем медиану АМ. Воспользуемся теоремой Пифагора для ∆АСМ (Ð С = 90°) (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

ВС = 2СМ

СМ = 3

АМ =

Проведем медиану ВМ (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

∆ВМС – прямоугольный. ВС = 6, МС = ½ АС = 4.

ВМ =

Ответ: СМ = 5; АМ =  ВМ =

 

Решение задачи №3

 

 

Дан прямоугольник АВСD. Точка О внутри прямоугольника. ОА = а, ОВ = b, ОС = c. Найти ОD (рис. 6).

 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Решение.

Проведем через точку О две прямые, параллельные сторонам прямоугольника. В итоге получили 4 маленьких прямоугольника и много прямоугольных треугольников (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Запишем теорему Пифагора для этих прямоугольных треугольников.

Введем обозначения. AK = х; KВ = у; BL = z; LC = u (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Отметим, что если маленькие четырехугольники – прямоугольники, то KО = z.

Для ∆ АKО по теореме Пифагора a² = x² + z². (1)

Из ∆ OLB b² = z² + y² (KB = OL = y) (2)

∆ OCM: c² = y² + u² (KB = OL = MC = y) (3)

∆ DOM: d² = u² + x². (OD = d) (4)

Нам нужно выразить d через а, b,с. Для этого рассмотрим 2 и 4, 1 и 3 равенства. Сложив их, получим равные выражения.

а² + с² = b² + d² = z² + y² + x² + u²

а² + с² = b² + d²

d²= а² + с² - b²

d =

Ответ: d =

Обратим внимание, что расстояние а, b, с (расстояние до трех вершин прямоугольника) однозначно прямоугольник не определяют. То есть таких прямоугольников существует бесконечно много, хотя мы и смогли вычислить четвертое расстояние d. Точку О можно брать не внутри прямоугольника, а снаружи. А соотношение, которое вывели в этой задаче, останется прежним.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7–9
3. Александров А.Д., Вернер А.Л. и др. Учебное пособие для 8 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2002.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма – 46 см, а одна из его сторон на 3 см меньше другой.
2. Дан прямоугольник АВСD. Точка О снаружи прямоугольника. ОА = а, ОВ = b, ОС = с. Доказать, что ОD = d = .