Математика

Решение задачи №1

 

Пусть необходимо взобраться на крышу дачного домика высотой 12 м для того, чтобы снять оттуда котенка. Но лестницы у вас нет. Она есть у соседа, длиной 13 м. Стоит ли ее брать? Известно, что основание лестницы должно стоять не ближе чем 3 м от основания дома и не дальше чем 6 м от основания дома, чтобы не упасть.

 

Решение.

По условию задачи, длина стены дома равна 12 м, лестница – 13 м. Узнаем, на каком расстоянии от основания стены будет находиться основание лестницы (рис. 1). 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Ответ: можно брать лестницу у соседа, так как расстояние между основанием стены и основанием лестницы не меньше 3 м и не больше 6 м, оно равно 5 м.

 

Решение задачи №2

 

 

Лодка переправляется через реку. Скорость лодки в стоячей воде – 4 км в час. Скорость течения реки равна 3 км в час. Лодка поплыла с одного берега реки на другой перпендикулярно берегу, ее снесло течением. Через полчаса она оказалась на другом берегу. Какое расстояние она проплыла?

 

Решение.

Будем считать, что лодка движется по прямой. Смещение лодки поперек реки происходило 30 мин со скоростью 4 км/час. Расстояние приведено на рисунке 2.

Смещение вдоль берега реки – 30 мин, но со скоростью 3 км/час.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Как видим, перемещение – гипотенуза прямоугольного треугольника (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

По теореме Пифагора расстояние равно  км.

Ответ: лодка проплыла 2,5 км.

 

Решение задачи №3

 

 

Турист Леша тратит на прогулки по лесу не больше 9 часов. Однажды во время прогулки он шёл с постоянной скоростью 2 час на север, потом 3 часа на восток. Успеет ли он к точке своего старта за оставшееся время?

 

Решение.

Так как измерять расстояние во времени некорректно, то пусть скорость Леши будет равна 1 условной единице расстояния в час.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Следовательно, чтобы вернуться, ему необходимо пройти по гипотенузе с катетами 2 и 3 (рис. 4).

По теореме Пифагора, d² = 2² + 3²= 13

 

Времени на прогулку осталось:  часа. За это время он пройдет не более 4 единиц условного расстояния.

Сравним, что больше: осталось пройти или оставшиеся 4 единицы? Для этого возведем их в квадрат.

Как видим, 13 < 16. Сделаем вывод о том, что Леша успеет пройти это расстояние за отведенное время.

Ответ: турист успеет вернуться в точку старта за оставшееся время.

 

 

Решение задачи №4

 

 

Это задача из стереометрии. Некоторые понятия не будем обосновывать, так как с ними вы познакомитесь в 10 классе. Давайте найдем диагональ куба с ребром а.

 

Решение.

Диагональю куба называется отрезок, соединяющий вершины куба, не принадлежащие одной грани. Диагональ куба – самый длинный отрезок, помещенный внутрь куба. Отрезок, который соединяет две вершины грани, называется диагональю грани (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Найдем диагональ грани.

х² = а² + а² = 2а²

Диагональ куба – это гипотенуза прямоугольного треугольника, показанного красным цветом. То, что он прямоугольный, докажем в 10 классе. Катеты: а и найденная диагональ грани куба. Пусть d – диагональ куба. Тогда

d² = а² + х² = а² + 2а² = 3а²

d = а

Ответ: диагональ куба равна d = а.

 

Решение задачи №5

 

 

На сколько вы далеко будете видеть, как далеко находится от вас линия горизонта, если вы находитесь в широкой ровной степи?

 

Решение.

Допущения:

1. Будем считать, что Земля – шар.

2. Оптимальные условия (ни жарко, ни холодно) для того, чтобы атмосфера не искажала нашу видимость.

Расстояние до линии горизонта вычисляется по следующей схеме (рис. 6). 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Вы стоите, и рост у вас h, тогда расстояние до линии горизонта будет считаться длиной отрезка . Отрезок  – катет прямоугольного треугольника. Величина второго катета равна  – радиус Земли. И гипотенуза .

R = 6371 км.

Обратим внимание, что по сравнению с  h играет очень малую роль. Поэтому мы можем пренебречь в сумме величиной h.

Подставив значение радиуса Земли, получим:

Мы будем вести расчеты в километрах, так как радиус Земли исчисляется в километрах. Поэтому и рост, и положение над землей предварительно будем пересчитывать в километрах.

Пусть  = 160 см = 1,60 м = 0,0016 км

 = 113∙ = 113∙0.04 = 4,52 км

Ответ: расстояние, на которое будем видеть, равно 4,52 км.

Если мы будем рассчитывать, на какое расстояние надо подняться над землей, чтобы посмотреть не на 4,52 км, а, например, на 10 км – тоже можем применить эту формулу.

Достаточно подняться на 3-й этаж дома. В этом случае считаем, что глаза находятся на высоте 10 м. тогда вы можете смотреть на расстояние d = 113∙. Конечно, с известной погрешностью.

Достаточно подняться на колоннаду Исаакиевского собора, 40 м над землей, и вы сможете осмотреть весь Санкт–Петербург.

Вот такие результаты получаются из теоремы Пифагора.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7–9.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти гипотенузу c, если а, b – катеты. а = 16 см, b = 20 см.
2. Найти диагональ куба с ребром 5 см.