Математика

Площадь

 

Вспомним, что же такое площадь.

 

Площадь геометрической фигуры – это такое положительное число, которое показывает, сколько раз в этой фигуре укладывается эталон площади: , ,  и т. д.

Но непосредственное сравнение с эталоном, конечно, не всегда удобно. Нужны формулы для вычисления площадей трапеции, треугольника, параллелограмма и т. д. Эти формулы выводятся с учетом свойств площади.

 

Свойства площади

 

 

Первое свойство

 

Если у нас есть квадрат со стороной , то площадь квадрата равна .

Второе свойство

Если любая фигура, например треугольник, разрезается на два треугольника, а эти треугольники соприкасаются только по общей стороне, то площадь всей фигуры состоит из площадей составляющих ее частей.

Третье свойство

Равные фигуры имеют равные площади.

Теперь вспомним основные формулы площади.

 

Формулы площади

 

 

Площадь прямоугольника со сторонами и  равна произведению  и .

 

Площадь параллелограмма равна произведению стороны  на высоту , которая опущена на эту сторону.

Площадь треугольника мы нашли как половину площади параллелограмма, состоящего из двух равных треугольников. И выяснили, что площадь треугольника составляет одну вторую часть основания  на высоту , которая опущена на это основание.

И наконец, для площади трапеции (с основаниями  и ) была выведена формула:

То есть полусумма оснований на высоту трапеции.

Для площади треугольника была выведена изящная формула Герона:

, где  – полупериметр треугольника.

Далее напомним теорему о сравнении площадей треугольников с общим углом. Интерпретируем ее следующим образом.

Есть треугольник , точка  перешла в точку , точка  в точку , причем ; .

Тогда отношение площадей треугольников с вершиной  таково: .

Иными словами: если прилегающие к углу  стороны треугольника  изменились в  и  раз, то площадь изменится в  раз.

А теперь пусть треугольники имеют одинаковую высоту.

Пусть есть два треугольника с одинаковой высотой , первый треугольник имеет основание , второй треугольник имеет основание , тогда:

Площади треугольников, которые имеют одинаковую высоту, относятся так же, как и их основания.

 

Частный случай

Есть много треугольников. Пусть основание будет одно и то же – , и высота  – одна и та же. Все вершины треугольников лежат на одной прямой, параллельной основанию. Площади таких треугольников равны.

Вышеупомянутые формулы и опорные факты – основы для решения многих задач.

 

Задача 1

 

 

Дано:  – выпуклый четырехугольник (см. Рис. 1).

 

Доказать: .

Доказательство:

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Так как высота из вершины  у этих треугольников одинакова.

Так как высота, опущенная из вершины  у них одинакова.

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Доказанное свойство справедливо для любого выпуклого четырехугольника. А частные случаи важные для нас – это трапеция, параллелограмм. Рассмотрим это свойство для трапеции.

 

Соотношение площадей треугольников трапеции

 

 

 – трапеция (см. Рис. 2). В ней , что доказано на уроке «Площадь трапеции».

 

Рис. 2. Соотношение площадей треугольников трапеции

Значит .

---

 

Задача на трапецию

Дано:  – трапеция (см. Рис. 3).

;

Найти: a) ; b) ; c) .

Решение

Рис. 3. Задача на трапецию

Треугольники  и  – подобны, коэффициент подобия известен, .

Значит, , тогда , , , .

Найдем отношение  к :

a)                  , то есть  – это треугольники с одинаковыми высотами, и их площади относятся, как основания.

b)                 ;

c)          – по свойству площади трапеции

Ответ: ;;.

---

 

 

 

Соотношение площадей треугольников параллелограмма

 

 

 – параллелограмм. Диагонали рассекли его на четыре равновеликих треугольника (см. Рис. 4).

 

Рис. 4. Соотношение площадей треугольников параллелограмма

Доказательство

Рассмотрим треугольник , его угол  равен углу  треугольника , значит,  (есть такое свойство у треугольников с одинаковым углом, но это и понятно, так как высота, опущенная из вершины  у них одинакова).

Свойство площадей для параллелограмма доказано.

 

Список литературы

1. Геометрия, 7–9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Я Класс» (Источник)

2. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)

3. Интернет портал «Портал готовых презентаций» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 330 м и 60 м, а второй участок имеет форму квадрата.

Площадь какого участка больше?

На сколько квадратных метров больше?

 

2. Площадь параллелограмма равна , а его периметр равен 34 см. Высота, проведенная к одной из его сторон, в 2 раза меньше, чем эта сторона. Вычислите:

a) данную высоту;

b) сторону, к которой она проведена;

c) вторую сторону параллелограмма.

 

3. Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 6 см. Меньшая боковая сторона равна 8 см, а большая боковая сторона образует с основанием угол .

Найдите площадь трапеции.