Математика

Тема 3: Подобные треугольники

Урок 1: Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

 Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников.

При сравнении двух величин возникает вопрос: во сколько раз одна больше другой?

Например, во сколько раз собака пробежит быстрее некоторое расстояние, чем это же расстояние проползёт жук? Или какую часть всех деревьев парка составляют дубы?

Ответ в таких случаях дается в виде частного двух чисел, которое называют отношением. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т. е. ABCD (или AB:CD).

На рисунке отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если AB:A1B1 = CD:C1D1.

 

 

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными. Любые два квадрата и любые два круга являются подобными.

 

 

А какие два треугольника называют подобными? Возьмём два треугольника ABC и A1B1C1, у которых угол А равен углу A1, угол B равен углу B1, а угол C равен углу C1.

 

 

Тогда стороны AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 называются сходственными. И если эти сходственные стороны пропорциональны, то есть AB:A1B1 = BC:B1C1 = AC:A1C1, то треугольники ABC и A1B1C1 являются подобными. Подобие треугольников обозначается следующим образом ABCA1B1C1.

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия. Если стороны треугольника ABC в два раза больше сторон треугольника A1B1C1, то отношение сходственных сторон равно 2, то есть коэффициент подобия равен 2.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств:

AB:A1B1 = BC:B1C1 = AC:A1C1 = 2, то есть k=2.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: ABCA1B1C1, k - коэффициент подобия.

Найти: отношение площадей ABC и A1B1C1

 

 

Решение:

Обозначим SABC = S, SA1B1C1 = S1.

∠A = ∠A1, значит, SS1=ABACA1B1A1C1 (площади треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведения сторон, содержащих этот угол).

ABA1B1=k

ACA1C1=k

Следовательно, SS1=k2.

Задача. Площади подобных треугольников АВС и А1В1С1 равны соответственно 20 см2 и 5 см2. Сторона А1В1 = 2 см. Найдите сходственную ей сторону АВ треугольника АВС.

 

 

Выше мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

SS1=k2, значит, 205=k2, следовательно k=2.

k=ABA1B1=2, значит, AB=2A1B1=24=8 см.

Ответ: 8 см.