Математика

 Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников.

При сравнении двух величин возникает вопрос: во сколько раз одна больше другой?

Например, во сколько раз собака пробежит быстрее некоторое расстояние, чем это же расстояние проползёт жук? Или какую часть всех деревьев парка составляют дубы?

Ответ в таких случаях дается в виде частного двух чисел, которое называют отношением. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т. е. $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{CD}}$ (или AB:CD).

На рисунке отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁, если AB:A₁B₁ = CD:C₁D₁.

 

 

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными. Любые два квадрата и любые два круга являются подобными.

 

 

А какие два треугольника называют подобными? Возьмём два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых угол А равен углу A₁, угол B равен углу B₁, а угол C равен углу C₁.

 

 

Тогда стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ называются сходственными. И если эти сходственные стороны пропорциональны, то есть AB:A₁B₁ = BC:B₁C₁ = AC:A₁C₁, то треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются подобными. Подобие треугольников обозначается следующим образом $⊿\mathit{ABC}\sim ⊿A_1{B}_1{C}_1$.

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия. Если стороны треугольника ABC в два раза больше сторон треугольника A₁B₁C₁, то отношение сходственных сторон равно 2, то есть коэффициент подобия равен 2.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств:

AB:A₁B₁ = BC:B₁C₁ = AC:A₁C₁ = 2, то есть k=2.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: $⊿\mathit{ABC}\sim ⊿A_1{B}_1{C}_1$, k - коэффициент подобия.

Найти: отношение площадей ABC и A₁B₁C₁

 

 

Решение:

Обозначим S_ABC = S, S_A1B1C1 = S₁.

∠A = ∠A₁, значит, $\frac{S}{S_1}=\frac{\mathit{AB}\bullet \mathit{AC}}{A_1{B}_1\bullet A_1{C}_1}$ (площади треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведения сторон, содержащих этот угол).

$\frac{\mathit{AB}}{A_1{B}_1}=k$

$\frac{\mathit{AC}}{A_1{C}_1}=k$

Следовательно, $\frac{\mathit{S}}{{\mathit{S}}_{\mathit{1}}}\mathit{=}{\mathit{k}}^{\mathit{2}}$.

Задача. Площади подобных треугольников АВС и А₁В₁С₁ равны соответственно 20 см² и 5 см². Сторона А₁В₁ = 2 см. Найдите сходственную ей сторону АВ треугольника АВС.

 

 

Выше мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\frac{S}{S_1}=k^2$, значит, $\frac{20}{5}=k^2$, следовательно $k=2$.

$k=\frac{\mathit{AB}}{A_1{B}_1}=2$, значит, $\mathit{AB}=2\bullet A_1{B}_1=2\bullet 4=8$ см.

Ответ: 8 см.