Математика
Тема 3: Подобные треугольникиУрок 5: Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции
- Видео
- Тренажер
- Теория
Средняя линии треугольника. Средняя линия трапеции.
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
На рисунке средней линией является отрезок DE.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и DBE. Они подобны, так как имеют две пары пропорциональных сторон (AB = 2BD, BC = 2BE) и общий угол B. Значит, все углы в этих треугольниках равны. ∠BDE = ∠BAC, следовательно, DE||AC по признаку параллельности: соответствующие углы равны. Коэффициент подобия равен 2, значит, AC = 2DE.
Следствие. Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF, DBE, ECF, DEF.
Каждый из четырёх треугольников ADF, DBE, ECF, DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5.
Напомним, что трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции. Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.
Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
На рисунке средней линией трапеции является отрезок EF.
Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.
Дано: ABCD – трапеция, E – середина AB, F – середина CD.
Доказать: EF||BC||AD, EF = (BC+AD):2.
Доказательство. Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию. Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G.
Рассмотрим треугольники BCF и FDG. В них CF = FD (по условию), ∠BFC = ∠DFG (вертикальные углы), ∠BCF = ∠GDF (накрест лежащие при параллельных прямых). Следовательно, треугольники равны по второму признаку.
Из равенства треугольников следует BF = FG и DG = BC. Значит, отрезок EF является средней линией треугольника ABG. Отсюда следует параллельность: EF||AD||BC.
Найдем длину EF. По теореме о средней линии треугольника EF = AG:2 = (AD+DG):2 = (AD+BC):2, что и требовалось доказать.