Математика

Тема 13.

Сумма первых n-членов геометрической прогрессии.

Всем привет. Сегодня мы выведем формулу суммы первых n-членов геометрической прогрессии.

Расскажу историю о награде изобретателя шахматной игры. По преданию, индийский принц, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе ее изобретателя, и сказал ему: «Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, что исполнить любое твое желание». Изобретатель попросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Говорят, что принц рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него ученый. Так сколько же зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Итак, получим последовательность 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;…

А это геометрическая прогрессия (b_n):

Возникает необходимость найти сумму 64-х слагаемых: S₆₄ = 1+2+4+8+16+32+64+…

Это очень сложно и громоздко…

Давай выведем формулу суммы первых n-членов (S_n) для геометрической прогрессии (b_n). Обозначим сумму (S_n):

S_n =b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n (1).

Умножим обе части этого равенства на q, получим:

S_nq=b₁q+b₂q+b₃q+…+b_nq

Учитывая, что

b₂=b₁q, b₃=b₂q, …., b_n =b_n-1q, получим:

S_nq=b₂+b₃+b₄+….b_n-1q+ b_n+b_nq (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

S_nq- S_n= (b₂+b₃+b₄+…+ b_n+ b_nq) – (b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n)= b_nq- b₁, в левой части вынесем общий множитель за скобку и получим:

S_n(q-1)= b_nq- b_1, отсюда

S _n = $\frac{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{q}-{\mathrm{b}}_1}{q-1}$; q≠1

При решении многих задач удобно пользоваться формулой, записанной в другом виде, подставим вместо b_n формулу n-го члена b_n=b₁q^n-1

S _n=$\frac{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{q}-{\mathrm{b}}_1}{q-1}$= $\frac{{\mathrm{b}}_1{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}-1}q-{\mathrm{b}}_1}{q-1}$= $\frac{{\mathrm{b}}_1{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}_1}{q-1}$= S _n=$\frac{{\mathrm{b}}_{1(}{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}-1)}{q-1}$, если q≠1.

Итак,

Sn=$\frac{{\mathit{b}}_{\mathit{1}}\mathit{(}{\mathit{q}}^{\mathit{n}}\mathit{-}\mathit{1}\mathit{)}}{\mathit{q}\mathit{-}\mathit{1}}$

Вернемся к задаче о вознаграждении и вычислим количество зерен:

S₆₄ =$\frac{1(2^{64}-1)}{2-1}$=2⁶⁴-1= 18 446 744 073 709 551 615 ≈ 18,4 ∙ 10¹⁸

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

Давай рассмотрим несколько примеров:

($b_n$) – геометрическая прогрессия, где

$b_1$=2, $b_2$= -4. Найдем сумму первых 8 членов геометрической прогрессии:

S _n=$\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ , q=$\frac{b_2}{b_1}=-2$,

S₈=$\frac{2\left(\right({-2)}^8-1)}{-2-1}$=$\frac{2(256-1)}{-3}=-170$

Ответ: 170

Рассмотрим еще один пример:

Найдем сумму десяти первых членов геометрической прогрессии: 3; 6; 12; 24;….

Найдите S₁₀ = ?

S _n =$\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, q=$\frac{b_2}{b_1}$=$\frac{6}{3}$=2

S₁₀=$\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ = $\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}$ = 3(2¹⁰ – 1)=

3 ∙ (1024 - 1) = 3 ∙ 1023 = 3069.

Ответ: 3069

В следующей задаче найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии, в которой второй член равен 6 и четвертый – равен 54, если известно, что все ее члены положительны.

Итак, чтобы найти сумму семи членов, необходимо найти знаменатель данной прогрессии. Для этого найдем третий член, воспользовавшись свойством геометрической прогрессии, получим:

${b_3}^2=b_2\bullet b_4$

${b_3}^2=6\bullet 54=324$

$b_3=18$ или $b_3=-18$

По условию задачи все члены прогрессии положительны, значит третий член равен 18.

Ответ:18

Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{18}{6}=3$, значит $b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{6}{3}=2$

Теперь найдем сумму:

$S_7=\frac{b_1\left(q^7-1\right)}{q-1}=\frac{2\left(3^7-1\right)}{3-1}=2187-1=2186$

Ответ: 2186