Математика

 

 

Тема: Длина окружности и площадь круга

 

Урок: Правильные многоугольники. Типовые задачи

 

 

1. Введение

 

 

Итак, имеем окружность радиуса R, сектор с Ðα. Напомним, сектор – это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами. Наша задача – найти площадь этого сектора и длину дуги окружности , ограничивающей этот сектор. При этом мы попутно вспомним площадь круга.

 

Запишем краткое условие:

Дано:

круг радиуса R; сектор АОВ (Рис. 1.);

Рис. 1.

ÐАОВ = α.

Найти: 1. S_AOB; 2. = l_α;

Решение.

При рассмотрении первого вопроса задачи будем опираться на тот факт, что сектор – часть круга, и, соответственно, площадь сектора – часть площади круга. Разделив площадь круга на 360°,  мы получим площадь сектора (он показан на рисунке «внутри» сектора АОВ), который ограничен дугой, опирающейся на угол, равный 1°. Далее, умножив полученное выражение на величину Ðα, мы получим искомую площадь сектора АОВ:

.

Аналогичные соображения применимы и ко второму вопросу. Длина дуги окружности – часть длины всей окружности. Последняя равна . Разделив эту длину на 360°, мы получим длину дуги, опирающейся на угол величиной 1°. Умножив результат на градусную меру Ðα, получим нужный нам результат:

, или, сократив дробь,.

Далее, если из сектора мы «отрежем» треугольник (Рис. 2.), получим фигуру, которая называется сегмент. Другими словами, сектор – это фигура, ограниченная дугой и хордой.

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

Задача – найти площадь сегмента.

Решение достаточно простое: коль скоро мы умеем вычислять площадь сектора и площадь треугольника, то путем вычитания второй из первой мы вычислим искомую площадь сегмента: . Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой произведения его сторон на синус угла между ними. Так как стороны треугольника совпадают с радиусами круга, то получим: .

Таким образом, основные элементы, которые можно выделить в круге, мы рассмотрели.

Теперь будем решать конкретные задачи.

Задача № 1123 из учебника Атанасяна.

Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.

Дано:

круг радиуса R;

вписанный в круг квадрат.

Найти: площадь части круга, не принадлежащей квадрату.

Решение.

Часть круга, площадь которой нам необходимо найти, на Рис. 3 помечена штриховкой.  Мы видим, что искомая величина – это площадь четырех сегментов.

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

Решить задачу можно несколькими способами, но здесь мы рассмотрим только один из них.

Из рисунка видно, что площадь заштрихованной части равна разности площади круга и площади квадрата: , где . Если обозначить через а длину стороны квадрата, то, воспользовавшись теоремой Пифагора для любого из прямоугольных треугольников, на которые разбивают квадрат его диагонали, можно получить: , тогда площадь квадрата . Таким образом, искомая площадь заштрихованной части круга равна: .

Задача решена.

Из полученного ответа можно сразу вычислить площадь любого из четырех заштрихованных сегментов – для этого достаточно разделить полученную площадь на 4.

Задача № 1109.

Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°;     в) 60°; г) 90°.

Дано (см. Рис. 4):

R = 6 см;

а) α  = 30°;

Найти: .

Решение.

Для решения можно воспользоваться общей формулой длины дуги окружности, подставив в нее значение угла и радиуса:

 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

В заключении рассмотрим одну шуточную задачу, которая, тем не менее, позволит нам повторить некоторые пройденные ранее моменты.

Итак, нам задан радиус Земли R, и соответствующая ему длина окружности, охватывающей Землю вдоль, например, экватора, равная 2πR. Значение этой длины – величина весьма значительная, около 40 000 км. Предположим, что мы получили возможность свить веревку, которая полностью опоясывает Землю, имеет длину, превышающую вышеуказанную длину окружности на 1 м (Рис. 5). Для нас важно, что Землю и веревку можно изобразить в виде окружностей с общим центром (или так называемых концентрических окружностей). Вопрос: сможет ли в образовавшийся между поверхностью Земли и веревкой промежуток (на рисунке обозначенный как d) пролезть мышь?

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

Решение.

Подсчитаем, чему равно значение d. Для этого из радиуса окружности,  образованной веревкой (), необходимо вычесть радиус Земли: . Чтобы подсчитать эту разность, запишем выражение для разностей длин веревки и экватора, которая, по условию задачи, составляет 1 м:

.

Разделив обе части этого равенства на 2π, получим значение искомой величины:

,

т. е. , что составляет примерно 1/6 часть метра. Таким образом, мышь сможет проскочить. Получается, что взяв веревку, длина которой всего лишь на 1 м превосходит длину экватора, мы получим окружность, радиус которой почти на 17 см превосходит радиус Земли. Причем от значения последнего результат совершенно не зависит, что может показаться на первый взгляд парадоксальным.

Итак, сделали обзор правильных многоугольников, выяснили, что центры их вписанной и описанной окружностей совпадают и что для полного задания правильного п-угольника достаточно задать  один из трех элементов: либо длину стороны п-угольника, либо радиус вписанной окружности, либо радиус описанной окружности. Мы также нашли формулы, связывающие эти три величины, и решили ряд соответствующих задач.

 

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru (Источник).

2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 212, задачи № 1, 2.