Математика

Тема 18.

Перестановки.

Вспомним, как было у И.А. Крылова в басне «Квартет»:

Проказница мартышка,

Осёл,

Козёл

Да косолапый мишка

Затеяли сыграть квартет…

Помните, у Крылова? Начали музыканты играть – не получается.

"Стой, братцы, стой! - кричит Мартышка. -

Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите».

И так и эдак пересаживались – опять музыка на лад не идёт.

Тут пуще прежнего пошли у них разборы.

И споры,

Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных способов перемены мест. Однако, способов (исходов, возможностей) этих не так уж и много. Сегодня, используя математические знания, посчитаем, сколькими различными способами можно рассадить (пересадить, поменять местами, переставить) четверых музыкантов на четыре различных места.

Рассмотрим пример: пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b и c. Эти книги можно расставить на полке по-разному.

Если первой поставить книгу a, то возможны такие расположения книг:

abc      acb

 Если первой поставить книгу b, то возможны такие расположения книг:

bac       bca

Если первой поставить книгу c, то возможны такие расположения книг:

cab      cba

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трёх элементов.

Итак,

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n- элементов обозначают символом P_n (читают Р из n)

В рассмотренном примере Р₃=6

Для того чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться комбинаторным правилом умножения. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов есть единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок трех элементов равно

3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Выведем теперь формулу числа перестановок из n элементов. Воспользуемся тем же способом рассуждений, который был использован для нахождения Р₃.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из n-2 элементов и т.д. в результате получим, что

P_n=$n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\bullet \dots \bullet 3\bullet 2\bullet 1$

Расположив множители в порядке возрастания, получим

$P_n=1\bullet 2\bullet 3\bullet \dots \bullet \left(n-2\right)\left(n-1\right)n$

Для произведения первых n натуральных чисел используют специальное обозначение n! (Читается n факториал)

Например, 2! = 1 ∙ 2 = 2

5! = 1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

По определению считают, что 1!=1

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле

P_n = n!

Возвращаясь, к басне, посчитаем сколькими различными способами можно рассадить (пересадить, поменять местами, переставить) четверых музыкантов на четыре различных места?

Значит, получим Р₄ = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 – число перестановок из 4-х элементов. Значит, крыловских музыкантов можно расположить 24 различными способами.

Рассмотрим такую задачу:

В расписании на вторник шесть уроков: русский язык, алгебра, история, литература, физкультура, биология.

Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы русский язык и литература стояли рядом для написания сочинения?

Чтобы ответить вопрос, надо рассматривать русский язык и литературу как один предмет, поэтому необходимо найти число перестановок из 5-и элементов, однако, в каждой из получившихся комбинаций русский язык и литературу можно менять местами, т. е. находим число перестановок из двух элементов. Значит, искомое число способов Р₅× Р₂.

Р₅× Р₂=5!×2!=120×2=240, т.е. существует 240 различных способов расставить уроки.

Ответ: 240 способов.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 5, 7?

Из цифр 0, 2, 5, 7 можно получить Р₄ перестановок. Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок Р₃. Значит, искомое число четырехзначных чисел равно Р₄ – Р₃=4! – 3! = 24 – 6 = 18

Водитель покинул место ДТП. Очевидцы заметили, что в номере автомобиля присутствовали цифры 0, 3, 6 и буквы в, о, м. Цвет в период полярной ночи рассмотреть не удалось, а номер региона был известен. Сколько автомобилей предстоит проверить инспекторам ГИБДД?

Решение: чтобы ответить на вопрос, надо рассматривать отдельно комбинацию из 3-х различных цифр и комбинацию из 3-х различных букв. Сначала необходимо найти число перестановок из 3 элементов (6) для трёх известных цифр, однако, в каждой из получившихся комбинаций три буквы можно менять местами, т. е. находим число перестановок из 3-х элементов (6). Значит, искомое число способов Р₃× Р₃.

Р3×Р3=3!×3!=6×6=36, т.е. существует 36 различных номеров автомобилей, которые необходимо проверить инспектору ГИБДД.

Ответ: 36 способов.