Математика

Тема 7.

Уравнения с одной переменной.

Уравнения, приводимые к квадратным, биквадратные и дробные рациональные.

Сегодня мы поговорим об уравнениях с одной переменной, научимся решать биквадратные и дробные рациональные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.

Итак, целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

Например, уравнение: ${\left(x^2-2x\right)}^2+x^5=x^3-2\left(x+1\right)$ и если мы раскроем скобки и все перенесем в левую часть, получим:

$x^4-4x^3+4x^2+x^5=x^3-2x-2$

$x^4-4x^3+4x^2+x^5-x^3+2x+2=0$

${x^5+x}^4-5x^3+4x^2+2x+2=0$

Или уравнение: $\frac{x^3+1}{2}-\frac{x^2-1}{3}=x^2$ так же целое. Выполним аналогичные преобразования, умножим обе части уравнения на 6, таким образом знаменатель первой и второй дроби исчезнет. Получим:

$3x^3+3-2x^2+2={6x}^2$, перенесем все в левую часть и получим уравнение

$3x^3-8x^2+5=0$, которое равносильно данному.

То есть в каждом примере мы выполнили преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному данному. В результате мы получили уравнения вида P(x)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида. И мы можем любое целое уравнение привести к такому виду, причем степень уравнения – это степень многочлена Р(х). Напомню, что степень многочлена – это наибольшая степень входящих в него одночленов. Значит, наше первое уравнение – пятой степени, а второе – третьей.

Уравнение первой степени можно привести к виду: ax + b = 0, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, где a ≠ 0. Из этого уравнения находим, что $x=-\frac{b}{a}$. Число $-\frac{b}{a}$ – корень уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.

Уравнение второй степени можно привести к виду ax² + bx + c = 0, где х – переменная, а а, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0. Ты, конечно, помнишь, что число корней этого уравнения зависит от дискриминанта, если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то один корень, если D < 0, то уравнение не имеет корней. Любое уравнение второй степени имеет не больше двух корней. Уравнение третьей степени имеет не более трех корней, уравнение четвертой степени – не более четырех корней. И вообще, уравнение n-ой степени имеет не более n корней.

Уравнения третьей и четвертой степеней имеют формулы для нахождения корней, но они очень неудобны для практического применения. А для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул для нахождения корней не существует, поэтому их решают другими способами. НО! Иногда удается решить эти уравнения, применяя какой-либо специальный прием, например, с помощью разложения многочлена на множители, или ввода новой переменной.

Давай решим уравнение: $4x^3-8x^2-x+2=0$

Разложим левую часть этого уравнения на множители, для этого воспользуемся способом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. У первого и второго вынесем общий множитель 4x² за скобки, а у третьего и четвертого – вынесем минус 1. Получим: $4x^2\left(x-2\right)-1\left(x-2\right)=0$, теперь вынесем общий множитель $\left(x-2\right)$: получим: $\left(x-2\right)\left({4x}^2-1\right)=0$, заметим, что вторую скобку еще можно разложить на множители, применяя формулу разности квадратов двух выражений. Итоговое разложение получится: $\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$. Итак, мы имеем произведение трех множителей, которое равно 0. А произведение двух или нескольких множителей равно 0, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, приравниваем каждый множитель к 0 и получим три корня: x₁ = 2 , x₂ = 0 , 5 , x₃ = -0 , 5

Рассмотрим еще один пример, решим уравнение:

$\left(2x^2+x-1\right)\left(2x^2+x-4\right)=-2$. Если это уравнение мы начнем решать с помощью преобразований, то мы получим уравнение 4-ой степени, которое будет достаточно сложно решить. Давай подумаем, что можно здесь сделать. Заметим, что в двух скобках есть одинаковое выражение $2x^2+x$. Давай введем новую переменную t =$2x^2+x$, тогда получим:

(t - 1)(t - 4) = -2, далее раскроем скобки, перенесем -2 в левую часть и получим: t² - 5t + 6 = 0, а это квадратное уравнения, находим его корни. Итак, t₁ = 2, t₂ = 3. Возвращаемся к переменной х:

2x² + x = 2

2x² + x = 3

Решая первое уравнение, получим, что D = 17, значит, корни равны

$x_1$ , $2=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$.

Решая второе уравнение, получим, что D = 25, значит, корни равны

x₁ = 1 и x₂ = -1,5. То есть уравнение имеет 4 корня.

Этот метод введения новой переменной применим и для уравнения 4-ой степени вида: ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. Такие уравнения называются биквадратными. Обрати внимание, что переменная x в биквадратном уравнении только в 4-ой и во 2-ой степени, и нет третьей и первой.

Решим уравнение: x⁴ - 6x² + 8 = 0, для этого введем новую переменную

t = x², получим квадратное уравнение: t² - 6t + 8 = 0, дискриминант которого равен 4, а корни 1 и 4, то есть t₁ = 2, t₂ = 4. . Возвращаемся к нашей замене переменной, получим: x² = 2, откуда $x=\pm \sqrt{2}$ или x² = 4, откуда

x = ± 2.

Далее вспомним дробные рациональные уравнения, с которыми ты познакомился в 8 классе.

Итак, дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробным выражением. То есть переменная должна быть в знаменателе.

Решим уравнение: $\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{x^2+2x-3}$

Если разложить на множители знаменатель третьей дроби, то мы получим:

x² + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3), а значит, общий знаменатель и будет знаменатель третьей дроби, умножим обе части этого уравнения на произведение (x - 1)(x + 3) ≠ 0, получим:

(3x - 2)(x + 3) – (2x + 3)(x –1) = 12x + 4, раскроем скобки, все перенесем в левую часть, приведем подобные слагаемые, получим:

x² - 6x - 7 = 0, откуда корни равны -1 и 7. Каждое из этих чисел не обращает в ноль наш знаменатель. Следовательно, исходное уравнение имеет 2 корня.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на этот знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.