Математика

Тема 14: Метод координат. Профильный уровень

Урок 4: Координаты векторов. Операции с векторами.

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Радиус-вектор

Можно встретить удачные и неудачные жилые массивы: в первых ветра практически нет, независимо от погоды, а во вторых, наоборот, есть почти всегда. Это зависит от того, были ли учтены при проектировании направление и сила ветра, который преимущественно дует в данном районе. Эту информацию нужно использовать при строительстве не только жилых районов, но и аэродромов, дорог и т. д.

Чтобы ее получить, на основании многолетних наблюдений, наносят направления ветра на так называемую розу ветров (см. рис. 1). Чем чаще дует ветер в данном направлении, тем дальше соответствующая точка от точки (см. рис. 2).

Рис. 1. Роза ветров

Рис. 2. Чем чаще дует ветер в данном направлении, тем дальше соответствующая точка от точки

Рассмотрим декартову систему координат с центром в точке на плоскости. Соединяя точку с точкой розы ветров вдоль выбранного направления получаем вектор, который называется радиус-вектором (см. рис. 3) (чем длиннее радиус-вектор, тем чаще ветер в данной местности дует вдоль его направления).

Рис. 3. Радиус-вектор

Название «радиус-вектор» понятно – как и радиус окружности, начало любого радиус-вектора зафиксировано в одной точке, центре (начале координат) (см. рис. 4).

Рис. 4. Начало любого радиус-вектора зафиксировано в начале координат

Координаты радиус-вектора

Как описать этот вектор алгебраически? Любой точке на плоскости будет соответствовать ровно один радиус-вектор (см. рис. 5) (говорят, что точка и радиус-вектор однозначно задают друг друга).

Рис. 5. Любой точке на плоскости соответствует ровно один радиус-вектор

Сама же точка однозначно задается своими координатами. Т. е. координаты точки задают и саму точку, и радиус-вектор (см. рис. 6).

Рис. 6. Координаты точки задают и саму точку, и радиус-вектор

Но тогда почему бы координаты точки не принять и за координаты радиус-вектора ? Именно так мы и поступим. Будем называть координатами радиус-вектора координаты его конца :

Координаты произвольного вектора

Мы говорили, что векторы равны (см. рис. 7), если у них равны длины и они сонаправлены:

Рис. 7. Равные векторы и

Понятно, что у равных векторов должны быть равны и координаты:

Рассмотрим произвольный вектор (см. рис. 8).

Рис. 8. Произвольный вектор

Построим вектор так, чтобы:

Получаем параллелограмм (см. рис. 9) (по признаку – две противоположные стороны равны и параллельны).

Рис. 9. Параллелограмм

Векторы (по построению), значит, координаты вектора равны координатам радиус-вектора и, соответственно, равны координатам точки :

Как видим, любому вектору на плоскости можно поставить в соответствие упорядоченную пару чисел – его координаты.

Однозначное определение координат вектора

Понятно, что координаты вектора должны однозначно определяться координатами его конца и начала (т. к. начало и конец задают сам вектор).Попробуем определить, как именно.

Пусть точки и из нашего предыдущего примера имеют координаты, соответственно, и . Вычислим координаты точки , такой что радиус-вектор (см. рис. 10).

Рис. 10. Радиус-вектор , где ,

Чтобы из точки попасть в точку , нужно передвинуться на единиц вправо и на вверх (см. рис. 11).

Рис. 11. Путь из точки в точку

Такое же перемещение из начала координат приведет нас в точку (см. рис. 12).

Рис. 12. Путь из точки в точку

Значит, координаты радиус-вектора . Тогда и координаты равного ему вектора .

Уберем вспомогательный радиус-вектор и попробуем определить координаты вектора без его помощи. Чтобы переместиться их точки в точку , нам нужно переместиться на единиц вправо и на вверх – это и будут координаты вектора (см. рис. 13).

Рис. 13. Чтобы переместиться их точки в точку , нужно переместиться на единиц вправо и на вверх

Связанные и свободные векторы

Чтобы определить координаты радиус-вектора , нам было достаточно двух чисел – координат точки . Чтобы определить координаты произвольного вектора – уже четыре числа: координаты точек и . Есть ли в этом противоречие?

Конечно, нет. В определении радиус-вектора уже «спрятаны» две дополнительные координаты – его начало всегда совпадает с точкой , координаты которой мы знаем –. Если перемещение из точки в точку по горизонтали мы искали как разность: , то из точки в точку , как . Но т. к. вычитание нуля не меняет число, то мы приравняли координаты радиус-вектора к координатам его конца (в этом удобство радиус-векторов).

Однако все же здесь есть о чем поговорить. Мы поставили в соответствие любому вектору на плоскости упорядоченную пару чисел – его координаты. Однако, вектор – направленный отрезок, который задается началом и концом. Но в этом случае, чтобы определить вектор, нужно знать четыре числа – координаты начала и конца. Так, набором из скольких чисел определяется вектор – из или ?

Рассмотрим пример из физики. Если в задаче мы можем рассматривать тело как материальную точку, то суммируем силы, которые на него действуют, независимо от точек их приложения (см. рис. 14).

Рис. 14. Если тело можно рассматривать как материальную точку, то можно суммировать силы, которые на него действуют, независимо от точек их приложения

Если же тело нельзя рассматривать как материальную точку (например, при вычислении вращающего момента), то складывать силы без учета точек их приложения уже нельзя (см. рис. 15).

Рис. 15. Если тело нельзя рассматривать как материальную точку, то нельзя суммировать силы, которые на него действуют, без учета точек их приложения

В первом случае силу можно рассматривать как пример так называемого свободного вектора, у которого начальную точку можно выбирать произвольно (или, что то же самое, которую можно произвольно переносить параллельно самим себе).

А во втором – уже как пример связанного вектора, у которого начальная точка фиксирована.

Понятно, что свободные векторы и – это не просто равные, а одинаковые векторы. А связанные векторы и – нет (т. к. у них разные начала). Поэтому для задания свободного вектора нужно гораздо меньше информации, чем для задания связанного. Действительно, связанный вектор можно задать двумя элементами: точкой отсчета и свободным вектором, который от нее откладывается (отсюда числа).

Все операции для свободных и связанных векторов определены одинаково. Единственное, для связанных векторов некоторые операции не определены, например сложение векторов с разными началами. Поэтому часто тип вектора явно не указывается.

В математике мы будем работать именно со свободными векторами (если не оговорено иное).

Нахождение координат вектора

Рассмотрим вектор (см. рис. 16).

Рис. 16. Вектор

Движемся из начала в конец: единица вправо и единицы вверх. Координаты вектора (см. рис. 17):

Рис. 17. Вектор

Чтобы попасть из точки в точку , двигаемся на единицы вправо и на вниз. Направление вниз у нас отрицательное, следовательно, координаты вектора (см. рис. 18):

Рис. 18. Вектор

Чтобы попасть из точки в точку , двигаемся на единиц влево (а это отрицательное направление оси ) и на вверх (положительное направление). Координаты вектора (см. рис. 19):

Рис. 19. Вектор

Правило определения координат вектора по координатам его концов

Как мы уже сказали, у равных векторов координаты равны. Поэтому при определении координат неважно, где находится вектор, важны его длина и направление.

Мы сказали, что вектор однозначно задается началом и концом. Значит, по координатам этих двух точек можно определить координаты вектора. Как это сделать?

Рассмотрим вектор , где , и найдем его координаты (см. рис. 20).

Рис. 20. Вектор ,

Движемся из точки на единицы вправо (положительное направление) и на вверх (тоже положительное направление), получаем координаты вектора (см. рис. 21):

Рис. 21. Вектор

Абсцисса точки равна , а точки равна . Мы двигались вправо на единицы, потому что . Это и есть первая координата вектора. Аналогично разность ординат двух точек: . Это и есть вторая координата.

Получаем правило определения координат вектора по координатам его концов: координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:

Вернемся к трем рассмотренным векторам из предыдущего примера.

1. :

Тогда:

2. :

Тогда:

3. :

Тогда:

Итак, чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала.

Пользуясь этим алгоритмом, несложно найти координаты нуль-вектора (у которого, напомним, начало и конец совпадают) – они равны .

Пусть даны координаты вектора . Изобразим его (см. рис. 22).

Рис. 22. Вектор

Мы не знаем, где он находится. Начало этого вектора может быть в любой точке. Например, он может быть радиус-вектором и начинаться в точке . Тогда его конец будет в точке .

Рис. 23. Вектор , где

Или он может начинаться в точке . Прибавим к координатам начала координаты векторы:

Координаты точки (см. рис. 24).

Рис. 24. Вектор , где

Обратите внимание, что мы пользуемся для нахождения координат конца следствием из сформулированного правила:

Теперь у нас есть две интерпретации вектора:

геометрическая: вектор – это направленный отрезок;
алгебраическая: если задана система координат, то вектор на плоскости – это упорядоченная пара чисел.

Теперь мы можем использовать обе интерпретации при работе с векторами.

Длина вектора

Раз вектор однозначно определяется своими координатами, то по ним можно вычислить и главную его характеристику – длину. Вспомним, что длина вектора равна длине отрезка с теми же концами.

Но на прошлом уроке мы доказывали, что длина отрезка , у которого , равна:

Но – координаты вектора . Получаем, что длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:

Эту же формулу можно получить и по-другому: если построить прямоугольный треугольник, у которого вектор – это гипотенуза, то его катеты – это длины проекций вектора на оси координат, т. е. модули координат вектора (см. рис. 25).

Рис. 25. Прямоугольный треугольник, у которого вектор – гипотенуза, а катеты – модули координат вектора

Тогда достаточно использовать теорему Пифагора, чтобы получить формулу:

Например, длина вектора равна:

Координаты суммы векторов

Рассмотрим теперь различные операции с векторами. Мы уже умеем складывать векторы геометрически, используя правила треугольника или параллелограмма.

Вот два вектора (см. рис. 26): начало вектора имеет координаты , а конец – ; начало вектора имеет координаты , конец – .

Рис. 26. Векторы и

Нетрудно посчитать координаты каждого вектора: из координат конца вычитаем координаты начала:

Чтобы сложить эти два вектора по правилу треугольника, нужно перенести их так, чтобы конец одного совместился с началом другого. Переместим вектор так, чтобы его начало оказалось в начале координат. Его конец переместится тогда в точку (см. рис. 27).

Рис. 27. Вектор перемещен так, что его начало находится в начале координат

Переместим в эту точку начало вектора (см. рис. 28).

Рис. 28. Начало вектора перемещено в конец вектора – точку

Получим новый вектор, равный сумме по правилу треугольника (см. рис. 29).

Рис. 29. Сложение векторов по правилу треугольника

Т. к. новый вектор является радиус-вектором, то его координаты совпадают с координатами его конца. Как же найти эти координаты?

Найдем координаты конца вектора . Мы знаем координаты начала этого вектора – . Знаем координаты самого вектора . И знаем, что координаты вектора – это координаты конца минус координаты начала:

Тогда:

Получаем координаты точки . И, соответственно, координаты вектора:

Можно заметить, что координаты вектора суммы равны сумме координат исходных векторов: , . Это не случайность.

Пусть у нас есть произвольные векторы с координатами и (см. рис. 30).

Рис. 30. Произвольные векторы и

Повторим те же операции, что и в рассмотренном примере: первый вектор отложим от начала координат, второй – от конца первого (см. рис. 31).

Рис. 31. Вектор отложен от начала координат, вектор – от конца вектора

Тогда точка , точка , координаты вектора :

Получаем:

Итак, чтобы найти координаты суммы двух векторов, нужно сложить их соответствующие координаты:

Пример 1. Найти сумму векторов и .

Решение.

Сумма векторов:

Ответ: .

Несложно доказать, что координаты суммы нескольких векторов – это суммы соответствующих координат всех векторов (например, если складываем три вектора – складываем любые два из них, получаем сумму уже двух векторов, их координаты снова нужно сложить – в итоге получаем сумму координат всех трех векторов).

Пример 2. Найти сумму векторов , и .

Решение.

Получаем:

Ответ: .

Координаты разности векторов

С вычитанием дело обстоит ничуть не сложнее. Если для векторов выполняется:

То:

При этом:

Аналогично:

Получаем, что координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат векторов:

Пример 3. Найти разность векторов и .

Решение.

Получаем:

Ответ: .

Координаты вектора, умноженного на число

Что происходит с координатами вектора при умножении их на число? Умножим вектор на . Вектор в два раза длиннее вектора и направлен в ту же сторону. Нетрудно увидеть, что каждая его координата тоже в два раза больше, чем у вектора (см. рис. 32):

Рис. 32. Вектор в два раза длиннее вектора

Чтобы умножить вектор на число, нужно обе координаты вектора умножить на это число:

Это, скорее, геометрическое рассуждение. Но тот же результат можно получить и алгебраически:

Теперь мы можем сказать, что вектор:

Свойства операций с векторами

В качестве самостоятельного упражнения докажите следующие свойства операций с векторами:

При объяснении попробуйте это сделать с двух точек зрения:

геометрической (с помощью изображения векторов как направленных отрезков, правил треугольника и параллелограмма, геометрического смысла умножения вектора на число);
алгебраической (с помощью координат, правил сложения координат векторов, умножения координат на число).

Чтобы проверить себя или узнать доказательство свойств, которые вызвали у вас затруднения, ознакомьтесь с доказательствами ниже.

Доказательство свойств

1. .

В координатах все просто:

Верно.

Геометрическое доказательство также не составит труда, если помнить, что у нуль-вектора начало и конец совпадают (дальше можно использовать правило треугольника для сложения векторов) (см. рис. 33):

Рис. 33. Правило треугольника

2. .

Геометрическое доказательство можно провести с использованием правила параллелограмма (совместив начала векторов) – в обоих случаях получится один и тот же параллелограмм, а значит, и диагонали будут одинаковыми (см. рис. 34).

Рис. 34. Правило параллелограмма

В координатах все тоже несложно:

3. .

Геометрическое доказательство можно провести, дважды используя правило треугольника (см. рис. 35).

Рис. 35. Использование правила треугольника дважды

По пути мы начали доказывать обобщение правила треугольника – правило многоугольника. Сумма векторов, конец каждого из которых является началом следующего, – это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

В координатах все легко:

Верно.

4. .

В координатах все легко:

Геометрически: при умножении на число векторы сонаправлены (значит, правый и левый векторы сонаправлены) (см. рис. 36).

Рис. 36. Сонаправленные векторы

Длины обоих векторов будут равны:

Значит, векторы равны (равны длины и сонаправлены).

5. .

В координатах:

Аналогично:

Геометрически: при умножении на число векторы сонаправлены (значит, левый и правый векторы сонаправлены). Длина левого вектора:

Длина правого вектора:

Значит, векторы равны (равны длины и сонаправлены).

6. .

Геометрически: сначала складываем векторы, затем умножаем на – удлиняем диагональ в раз. Справа – сначала удлиняем стороны параллелограмма, затем строим диагональ – получается та же диагональ, значит, векторы равны (см. рис. 37).

Рис. 37. Равные векторы и

В координатах:

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет