Математика

Решение задач

 

Задача 1.

 

Даны координаты вершин трапеции  ABCD: . Напишите уравнения прямых, содержащих

а) диагонали AC и BD;

б) среднюю линию трапеции.

Решение (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 

общее уравнение прямой, оно задается конкретной тройкой чисел a, b и c.

а) Найдем уравнение прямой АС, для этого в уравнение прямой подставляем координаты точек А и С:

Как и раньше, получили два уравнения с тремя неизвестными, будем решать ее методом алгебраического сложения.

Если с=0, то прямая проходит через начало координат. Подставим с в любое уравнение:

Ответ:

б) Найдем уравнение прямой BD: точки B и D имеют одну и ту же ординату, равную 1, поэтому уравнение прямой BD.

Ответ:

в) Найдем координаты точки M – середины CD и точки N – середины AB:

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 

Подставляем координаты точек M и N в уравнение

Подставляем в первое уравнение:

Ответ:

Задача 2.

Найдите координаты точек пересечения прямой  с осями координат. Начертите эту прямую и найдите длину отрезка прямой, отсекаемого осями координат.

Решение:

Определим точки пересечения с осями и построим данную прямую (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 

x	0	-4
y	3	0

A(0; 3), B(-4; 0) 

Найдем длину отрезка АВ:

Ответ: A(0; 3), B(-4; 0), АВ=5.

Задача 3.

Найдите координаты точек пересечения прямых  и .

Координаты искомой точки являются координатами точки пересечения прямых, поэтому они удовлетворяют и первому и второму уравнениям прямых, то есть следует решить систему из двух уравнений:

Координаты точки пересечения прямых

Ответ:

 

Роль и смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой

 

 

Уравнение наклонной прямой –

 

В этом уравнении m – ордината точки пересечения с осью Oy, действительно,

k – угловой коэффициент, при k>0 функция возрастает, при k<0 функция убывает.

Задача 4.

Определить знаки k и m по графику функции .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 

k>0, так как функция возрастает, угол наклона прямой острый, и m>0.            

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

k>0, m<0 (рис. 5).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

k<0, m>0 (рис. 6).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

k<0,m<0 (рис. 7).

Мы вспомнили смысл коэффициентов в уравнении наклонной прямой и продемонстрировали определение знаков этих коэффициентов по графику функции.

 

Взаимное расположение прямых на плоскости

 

 

Вспомним теперь взаимное расположение прямых на плоскости.

 

Пусть две прямые заданы уравнениями: и

1.             Прямые пересекаются, система
 имеет единственное решение

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Прямые пересекаются 

2.     

В этом случае прямые параллельны, система не имеет решений (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

3.     

Прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

 

Переход от общего уравнения прямой к уравнению наклонной прямой

 

 

общее уравнение прямой, если  то можно перейти к уравнению наклонной прямой:

 

Делим уравнение на b:

обозначим

и получим

 

Взаимное расположение прямых, заданных общим уравнением

 

 

Мы рассмотрели взаимное расположения прямых, заданных уравнением наклонной прямой, рассмотрим взаимное расположение прямых, заданных уравнениями в общем виде.

 

Составим систему и будем решать ее методом алгебраического сложения:

Обозначим

тогда

Выразим теперь у:

Обозначим

тогда

Перепишем систему в виде:

Проанализируем число решений системы в зависимости от ее коэффициентов.

1. Система имеет единственное решение

если

2. Система не имеет решений, если , но хотя бы одно из чисел  не равно 0.

3.      Система имеет бесчисленное множество решений, если 

С помощью метода алгебраического сложения исследована система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Ее специфика – наличие одного решения, бесчисленного множества решений или отсутствие решений.

 

Примеры на определение взаимного расположения прямых и числа решений системы

 

 

Задача.

 

Не выполняя построения, укажите взаимное расположение прямых и число решений системы.

1.  
Решение:
прямые параллельны, система решений не имеет.

2.   
Решение:
прямые совпадают, система имеет бесчисленное множество решений.

3.  
Решение:
прямые параллельны, система решений не имеет.

4.  
Решение:
прямые пересекаются, система имеет одно решение.

 

Заключение

 

 

Итак, мы рассмотрели серию задач по теме «Уравнение прямой», повторили случаи взаимного расположения прямых, в частности, важные факты, которые заключаются в том, что система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет одно решение, бесчисленное множество решений либо решений не имеет.

 

На следующем уроке уравнение прямой будет использовано в сочетании с уравнением окружности.

 

Список литературы 

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. E-science.ru (Источник).
3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 1003–1005.