Математика

 

 

Тема: Прогрессии

 

Урок: Характеристическое свойство арифметической прогрессии

 

1. Повторение. Опорные факты

 

 

Функцию , где , называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.

 

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью:  

 В арифметической прогрессии действуют определенные закономерности. Они выражены в следующих  важных формулах.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

.

Первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

 .

Вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:  .

 

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

 

 

Доказать, что каждый  член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов.

 

Доказательство.

Из определения арифметической прогрессии следует, что

 .

Значит,  ,  ,  .

причем это свойство справедливо для всех n=2, 3,4, …

Таким образом, если мы имеем арифметическую прогрессию, то в ней справедливо доказанное характеристическое свойство.

Справедливо обратное утверждение, а именно: если в последовательности () каждый  член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, то последовательность () – арифметическая прогрессия.

Действительно, из равенства , получаем  или  , n=2, 3, 4 … и т.д.

Т.е.

Следовательно, разность между предыдущим и последующим членами остается постоянной, а это означает, что последовательность () – арифметическая прогрессия.

Мы доказали, что если последовательность является арифметической прогрессией, то справедливо характеристическое свойство, т.е. каждый  член, начиная со второго есть среднее арифметическое соседних членов.

Доказали обратное утверждение: если каждый член последовательности, начиная со второго,  есть среднее арифметическое соседних членов, то такая последовательность является арифметической прогрессией.

Таким образом,  доказана следующая теорема:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Эта теорема называется  характеристическим свойством арифметической прогрессии.

 

3. Решение задач на доказанное свойство

 

 

1. При некотором значении х числа  являются последовательными членами конечной арифметической прогрессии.

 

Найдите значения .

Дано: {  } – арифметическая прогрессия.

Найти:.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: , .

Ответ: х=1; а₁=3; а₂=6; а₃=9.

2. Даны три функции  .

Найдите значение t, при  котором числа у₁, у₂, у₃ в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Дано:   

Найти: 

Решение:

Применим характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность , если у2, средний член, есть среднее арифметическое соседних, т.е. .

t

Ответ: t=1; у₁=7, у₂=1, у₃=-5.

Задача решена.

3. Дано: числа a, b, c удовлетворяют условиям .

Доказать: числа  в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся характеристическим свойством.

Три числа в указанном порядке будут образовывать арифметическую прогрессию, если .

 .

Все преобразования равносильные, эквивалентные, если а, в, с ненулевые числа.

Таким образом, мы доказали, что характеристическое свойство имеет место, значит, три числа   образуют арифметическую прогрессию.

Что и требовалось доказать.

 

4. Еще одно свойство арифметической прогрессии

 

 

Дано: () – арифметическая прогрессия, d≠0.

 

Доказать:  , если  (1)

Доказательство.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

.

Имеем следующую цепочку равносильных преобразований:

.

Последнее равенство верно в силу условия. Но из этого верного равенства в силу равносильности можно получить исходное первое равенство.

Значит, свойство доказано.

 

5. Решение задач на доказанное свойство

 

 

1. Дано: ,  .

 

Найти: .

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: . 

Ответ: .

2. Дано: ,  .

Найти:,

Решение.

Воспользуемся доказанным свойством: =, т.к. 1+19=9+11=3+17=20

Ответ: =.

 

6. Итог урока

 

 

Итак, мы изучили характеристическое свойство арифметической прогрессии, решили несколько задач  с применением указанного свойства. Следующий урок посвятим решению типовых задач на арифметическую прогрессию.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 376, 378, 444 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.89 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).