Математика

 

 

Тема: Прогрессии

 

Урок: Решение типовых задач по теме “Арифметическая прогрессия”

 

1. Повторение

 

 

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью. 

 

.

2.  – формула n-го члена арифметической прогрессии.

, т.е. n-й член арифметической прогрессии зависит от n, значит,  является функцией натурального аргумента.

3.  – первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

 – вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

исловая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:

n-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. при допустимых значениях p ().

6. Свойство членов арифметической прогрессии:  , если . Например, .

 

2. Решение задач

 

 

Задача 1.

 

Дано: n-й член последовательности задан формулой

а.  , б.  .

Доказать: , .

Доказательство.

1-й способ. Поскольку  и  являются линейными функциями натурального аргумента, то .

2-й способ. Докажем, по определению, что , т.е. покажем, что разность двумя соседними членами последовательности есть величина постоянная.

, а это означает, что .

 

 - члены этой .

, а это означает, что

.

 .

 - члены этой .

Задача 2. Докажите, что данные последовательности ,   являются арифметическими прогрессиями с помощью характеристического свойства арифметической прогрессии.

 

3-й способ. Проверим истинность равенства .

Для первой последовательности:

. Следовательно, .

Для второй последовательности:

. Следовательно, .

Задача 3.

Дано: .

Найти: 1. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;

2. d – разность арифметической прогрессии;

3. ;  4)  .

Решение. .

 – формула n-го члена арифметической прогрессии. Тогда

   .

 – формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

.

Ответ: ,  d=3,  ,  .

Задача 4.

Дано: .

Найти: 1. d – разность арифметической прогрессии;

2. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;

3. Номер наибольшего двузначного числа.

Решение.

1.  – формула n-го члена арифметической прогрессии.

;

2. .

3.

Номер наибольшего двузначного числа  Проверка: .

Ответ: d=7, ,  n=13.

Задача 5.

Дано: ,  , .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии:

 , Составим и решим систему:

      

     Т.к. по условию арифметическая прогрессия возрастающая, то .Поэтому

Теперь можем найти : .

Ответ: .

Задача 6.

Дано: .

Найти: является ли число 41 членом данной арифметической прогрессии.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

:

;  41=4n-11;  n=13.

Ответ: да,  

Задача 7.

Дано: .

Найти: с какого номера все члены данной арифметической прогрессии больше 141.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

:

Проверка: .

Ответ: с номера .

Задача 8.

Дано: .

Найти: .

Решение.

1-й способ.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии:

  Составим и решим систему:

    

.

Ответ:  .

2-й способ.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

Ответ:  .

3-й способ.

По определению арифметической прогрессии:

              

Ответ:  .

 

3. Итог урока

 

 

Мы повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. На следующем уроке продолжим решение задач на арифметическую прогрессию.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 448, 457 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.104 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).