Математика

 

 

Тема: Прогрессии

 

 Урок: Решение типовых задач по теме “Арифметическая прогрессия”

 

1. Повторение

 

 

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью. 

 

.

2.  – формула n-го члена арифметической прогрессии.

, т.е. n-й член арифметической прогрессии зависит от n, значит,  является функцией натурального аргумента.

3.  – первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

 – вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:

n-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. при допустимых значениях p ().

6. Свойство членов арифметической прогрессии:  , если . Например, .

 

2. Решение задач

 

 

Задача 1.

 

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии (основной метод решения подобных  задач):

  Составим и решим систему:

           

Ответ:  .

Примечание:

Задача 2.

Проверить

Решение.

   

Задача 3.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся обобщенным характеристическим свойством арифметической прогрессии: .  Откуда, . Следовательно,

Составим и решим систему:

          

                    

Ответ:  

Задача 4.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2 и в остатке 5. Найти .

Повторение:  1.  

2.  

3. +5.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии:

  Составим и решим систему:

             

  

Ответ:  .

Задача 5.

Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц  на 4 больше цифры сотен.

Повторение. Каждое число в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:

Дано: .

Найти: х.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 для выражения членов данной прогрессии:

  Составим и решим систему:

          

.

Ответ: .

Задача 6.

 

Найдите x, при котором числа  образуют конечную арифметическую прогрессию.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

  

Решая полученное квадратное уравнение, получаем

Ответ:

Задача 7.

Сумма 75-ти первых членов арифметической прогрессии равна 450. Найти 38-й член прогрессии.

Дано:  , .

Найти: .

Решение:

Общая формула:

.

В нашем случае:.

Ответ: .

Задача 8.

Докажите, что последовательность, сумму n первых членов которой можно вычислить по формуле , , является арифметической прогрессией.

Решение.

. Тогда,

Равенство  означает, что -й член линейно зависит от ,  значит, последовательность является арифметической прогрессией с разностью . Покажем, что и последовательность  тоже является арифметической прогрессией. Действительно,

. Следовательно, Таким образом, доказано, что . Значит, является арифметической прогрессией.

 

3. Итог урока

 

 

На уроке повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. Следующий урок посвятим обзору по теме арифметическая прогрессия.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 443, 447, 451 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.108 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).