Математика

 

 

Тема: Арифметическая прогрессия

 

Урок: Обзорный урок по теме “Арифметическая прогрессия”

 

1. Повторение. Определение арифметической прогрессии

 

 

Сегодня у нас обзорный урок по теме «Арифметическая прогрессия».

 

Наша цель – вспомнить теорию по теме «Арифметическая прогрессия», обсудить ее интересные свойства.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью. 

.

Задано  и d, тогда    - рекуррентная формула для арифметической прогрессии для n=2,3,4,….

Пример.

 1; 3; 5; 7; …} – арифметическая прогрессия.

 ;

Получили формулу для обозначения нечетных чисел.

 

2.  Формула n-го члена арифметической прогрессии

 

 

Из определения арифметической прогрессии следует истинность равенств: . Тогда

 

  и т.д. Значит,

Т.е., зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член.  

 – формула n-го члена арифметической прогрессии.

, т.е. n-й член арифметической прогрессии линейно зависит от n.  Арифметическая прогрессия является функцией натурального аргумента:, где  .

 

3. Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

 

 

Структура арифметической прогрессии такова, что легко можно сложить ее члены.

 

Последовательность :  - арифметическая прогрессия.

сумма первых n членов прогрессии. 

Оказывается первый член и последний член в сумме – то же самое, что второй член с начала плюс второй член с конца, и то же самое, что третий член с начала плюс третий член с конца .

 Вспомним, как доказываются свойства прогрессии и какой основной прием работы с прогрессией. В частности, докажем указанное свойство. Этот прием заключается в том, что надо все выразить через первый член и разность.

;

 и т.д.

Уместно вспомнить классический пример. Требуется сложить сумму первых 100 натуральных чисел 1+ 2+ 3+…+ 98+ 99+ 100.

Здесь а₁=1, d=1, n=100.

Такое задание было учителя, у которого учился будущий великий математик Гаусс. Маленький Гаусс очень быстро посчитал, и на вопрос учителя, как он это сделал, ответил: «Господин учитель, первый член и последний член в сумме дают 101, второй член с начала, второй член с конца тоже в сумме 101, 3 и 98 тоже в сумме 101, а таких пар 50». Поэтому он все это перемножил и получил результат 5050.

То есть получается формула:  – первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Напомним иной вид формулы:

 – вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии;  сумма  выражается только через а₁, d и n.

 

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

 

 

 Конечно, следует вспомнить и обсудить характеристическое свойство арифметической прогрессии.

 

Из определения арифметической прогрессии следует, что . Тогда,  ,  , .

 ,  ,

Значит,  ,  ,  .

причем это свойство справедливо для всех n=2, 3,4, …

Справедлива следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии):

 Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

 

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии

 

 

k-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. при допустимых значениях p ().

 

Докажем указанное обобщение и прокомментируем его. Нужно доказать, что  a_k есть среднее арифметическое членов с индексами к-р,  к+р. Используем основной прием работы с прогрессией, т.е. все надо выразить через первый член и d.

 .

Значит, обобщение доказано.

Теперь комментарий. Заметим, что а_k+а_k=а_k-p+а_k+p.

Это равенство верно и обратим внимание на то, что суммы индексов равны к+к=к-р+к+р, т.е. 2к=2к.

 

6. Свойство членов арифметической прогрессии

 

 

Рассмотрим задачу. Доказать, что в любой арифметической прогрессии имеют место следующие равенства а₂₃+а₇=а₂₀+а₁₀=а₅+а₂₅.

 

Для доказательства используем основной прием работы с прогрессиями, т.е. все выразить через первый член и d.

а₂₃+а₇=а₂₀+а₁₀=а₅+а_{25 .}

Доказательство закончено.

В общем случае справедливо свойство членов арифметической прогрессии:  , если .

Доказательство.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

 .

.

Имеем следующую цепочку равносильных преобразований:

.

Значит, если равны суммы членов, то равны суммы индексов, и наоборот.

 

7. Итог урока

 

 

Итак, мы вспомнили теорию по теме «Арифметическая прогрессия»,  и обсудили ее свойства. На следующем уроке мы перейдем к изучению геометрической прогрессии.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Математика (Источник).

2. Математика (Источник).

3. Полезные ссылки (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

№№ 455, 458, 460 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

№ 12.106 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).