Математика

 

 

Тема: Геометрическая прогрессия

 

Урок: Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n–го члена

 

1. Тема урока, введение

 

 

На уроке дается определение геометрической прогрессии, выводится формула общего члена, решаются типовые задачи.

 

 

2. Определение геометрической прогрессии

 

 

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

 

Математическая запись.

геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись:, т.е. .

Рассмотрим примеры геометрических прогрессий:

 здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2; полученная последовательность при этом возрастает (

2.  здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на ; полученная последовательность при этом убывает (

 

3. Формула общего члена

 

 

Теперь выведем формулу n–го члена геометрической прогрессии.

 

Рассмотрим геометрическую прогрессию , при этом

.

Тогда,

. . . . . . . . . . .

n=1,2,3,…

Докажем полученную формулу методом полной математической индукции.

Дано:геометрическая прогрессия,

.

Доказать:.

Доказательство.

1. Проверим справедливость формулы дляn =1:

2. Предположим, что формула справедлива для n=k:

3. Докажем, что из справедливости формулы для n=k следует справедливость формулы для n=k+1:

Вывод:  формула верна для всех

 

4. Построение графиков

 

 

Рассмотрим геометрическую прогрессию как функцию натурального аргумента и построим ее график.

 

Обозначим, тогда

,  это показательная функция натурального аргумента.

Рассмотрим примеры.

1.  

.

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

n	1	2	3	4
	1	2	4	8

И построим ее график.

Рис. 1.

, поэтому график – это только отдельные точки, которые лежат на показательной кривой.

2.  ;

.

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

n	1	2	3	4
	1

И построим ее график.

Рис. 2

Снова график – это отдельные точки, лежащие на показательной кривой.

Из графиков видно, что если геометрическая прогрессия возрастает, то возрастает очень быстро, а если убывает, то убывает тоже быстро (как показательная функция).

 

5. Решение задач

 

 

Далее рассмотрим типовые задачи, для решения которых понадобится формула общего члена геометрической прогрессии:

 

1. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: . Решение: Ответ:

2. Дано:геометрическая прогрессия,. Проверить, является ли число 1536 членом этой прогрессии, если да, найти его номер. Решение: Ответ:

3. Дано:геометрическая прогрессия, .  Найти: Решение: Ответ:

4. Дано:геометрическая прогрессия, .  Найти: Решение: Ответ:

Если известны два члена геометрической прогрессии то справедлива формула:

.

Действительно, Рассмотрим еще одну задачу.

5. Дано:геометрическая прогрессия, .  Найти: Решение: Ответ:

 

Методические замечания:

1. В видео уроке на доске график на рисунке 2 подписан  вместо

2. Не рассмотрена очень полезная для решения задач формула , которая была добавлена в конце конспекта и на использование формулы приведен соответствующий пример.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на  ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 485, 486, 488, 490, 497.