Математика

 

 

Тема: Геометрическая прогрессия

 

Урок: Формула суммы членов геометрической прогрессии

 

1. Тема урока, повторение определения геометрической прогрессии и формулы общего члена

 

 

На уроке повторяется определение геометрической прогрессии, формула общего члена, выводится формула суммы членов конечной геометрической прогрессиии решаются типовые задачи.

 

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись:, т.е. . - формула n–го члена геометрической прогрессии, n=1,2,3,…

т.е. геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию натурального аргумента.

 

2. Формула суммы

 

 

Выведем далее формулу суммы конечного числа членов геометрической прогрессии.

 

Дано: геометрическая прогрессия.

Найти:

Решение:.

Умножим обе части этого равенства на q:

.

И вычтем из первого равенства второе:

,

 ,

.

В полученной формуле , рассмотрим частный случай

Геометрическая прогрессия  имеет nравных членов, поэтому ее сумма

Итак, , при ;   при .

 

3. Решение задач

 

 

Далее рассмотрим  типовые задачи, для решения которых понадобится формула суммы членов геометрической прогрессии:

 

1. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: . Ответ:

2. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: . Решение: Ответ:

3.  «Легенда об изобретателе шахмат». Дано:геометрическая прогрессия,  .  Найти: Решение: Ответ: А теперь легенда. Восточный правитель захотел наградить мудреца за то, что он научил правителя играть в шахматы. Мудрец попросил на первую клетку шахматной доски положить одно зернышко пшеницы, а на каждую следующую в 2 раза больше зерен, чем на предыдущую. Шахматная доска имеет 64 клетки, поэтому общее количество зерен на доске – это сумма 64 членов геометрической прогрессии, у которой . Мы только что нашли, что Оказалось, что это число настолько огромно, что у правителя не нашлось столько пшеницы. Возрастающая геометрическая прогрессия возрастает очень быстро и сумма даже не очень большого числа членов – огромное число.

1. Дано:геометрическая прогрессия,  .  Найти: Решение: Ответ:

2. Найдите сумму Решение:Данная сумма является суммой геометрической прогрессии, действительно, ,отношение не зависит от n, т.е. это геометрическая прогрессия. В этой прогрессии , тогда . Ответ:.

3. Докажите тождество Доказательство: Притождество справедливо. При имеем геометрическую прогрессию  (). В предыдущей задаче мы вычислили , тогда Тождество доказано.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 502 - 505.