Математика

 

 

Тема: Прогрессии

 

Урок : Обзорный урок по главе «Прогрессии»

 

1. Введение

 

 

Арифметические и геометрические прогрессии – это частные случаи числовой последовательности.

 

 

2. Числовые последовательности

 

 

Определение. Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью  и обозначают  или Способы задания числовой последовательности:

 

1. Аналитический, если указана формула n-го члена. Пример:

2. Словесный. Пример: 2;3; 5; 7; 11; … - последовательность простых чисел.

3. Рекуррентный. Зная предыдущий член, можно по определенному правилу получить последующий.  Пример:  – последовательность чисел Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21;… Пример рекуррентного задания арифметической прогрессии: числа, задающие данную прогрессию. Пример рекуррентного задания геометрической прогрессии: ; числа  и   задают данную прогрессию.

 

3. Арифметическая прогрессия

 

 

Определение: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, а число d–ее разностью.

 

.

Основные формулы для арифметической прогрессии:

Формула- го члена. –показывает, что -й член линейно зависит от

Формула суммы первых  членов. или .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Обобщение: Действительно: Если имеется арифметическая прогрессия, то выполняется  характеристическое свойство, и наоборот, если мы имеем некую последовательность, для которой справедливо характеристическое свойство, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Основной прием решения задач на арифметическую прогрессию – выражение через  и. Доказать:

 

4. Геометрическая прогрессия

 

 

Определение: Числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, и каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число , называется геометрической прогрессией, число –знаменатель прогрессии.

 

Основные формулы геометрической прогрессии:

Формула  - го члена.

.

Формула суммы первых членов.

Характеристическое свойство. –среднее геометрическое.

Если имеем геометрическую прогрессию, для ее членов справедливо характеристическое свойство. Верное и обратное, если в некоторой числовой последовательности для всех членов выполняется характеристическое свойство, то такая последовательность является геометрической прогрессией.

Обобщение:

Основной прием работы с геометрической прогрессией – выразить все соотношения через и .

Доказать:

Доказательство:.

Рассмотрим задачу.

Дано:–геометрическая прогрессия, –знаменатель.

Доказать:– геометрическая прогрессия,знаменатель.

Доказательство:

 

5. Подведение итогов

 

 

Список рекомендованной  литературы

 

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки  на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник). 

2. Задачи (Источник).

3. Задачи (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

Домашняя контрольная работа № 4.