Математика

Определение линейного неравенства

 

Линейные неравенства – это неравенства вида  и они решаются двумя способами: эквивалентными преобразованиями либо с помощью графика функции. Рассмотрим второй способ на примерах:

 

 

Решение линейного неравенства графическим способом

 

 

1. Решить неравенство

 

Построим график функции. Графиком является прямая, она пересекает ось oy в точке 1, ось ox в т. Корень функции разбивает ось ox на два различных промежутка. На первом промежутке функция отрицательна, на втором – положительна.

Этого достаточно, чтобы решить линейное неравенство.

Ответ:

Линейные неравенства эффективно решаются путем выбора интервалов, на которых функция сохраняет знак, т.е. до корня и после корня. Решением линейного неравенства, как правило, является луч.

 

Решение квадратного неравенства графическим способом

 

 

Рассмотрим квадратное неравенство

 

Оно решается с помощью свойств квадратичной функции

Рассмотрим на примере.

2. Решить неравенство

Рассмотрим функцию  Построим ее график, для этого вначале найдем корни. По теореме Виета

Схематически изобразим параболу и определим интервалы знакопостоянства и знаки на них. Ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала корней – отрицательна.

Ответ:

Рассмотрим квадратичную функцию и её свойства в общем виде.

 

 

Квадратичная функция в общем виде, D>0

 

 

1.

 

Функция имеет вид

 значит, корни квадратного трехчлена различны,

Графиком квадратичной функции является парабола, пересекающая ось ox в точках с абсциссами

 ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция имеет положительный знак, внутри интервала корней – отрицательный.

Что можно сказать о функции, если  Прежде всего, что она разлагается на линейные множители:

Также для нее справедлива теорема Виета:

Найдем координаты вершины параболы.

Для квадратичной функции есть два возможных варианта неравенств:

 

Множество значений функции – луч от  в положительном направлении.  Точка пересечения с осью oy – т..

 

Квадратичная функция в общем виде, D=0

 

 

2.

 

Как и в предыдущем случае, многочлен раскладывается на множители.

График функции – парабола, ветви направлены вверх.

Парабола касается оси ox в одной точке, которая и является вершиной параболы.

Рассмотрим возможные варианты неравенств:

Множество значений функции:

График функции пересекается с осью oy в т.

 

Квадратичная функция в общем виде, D<0

 

 

3.

 

Рассмотрим функцию

 означает, что уравнение не имеет корней, трехчлен нельзя разложить на множители и не выполняется теорема Виета.

Найдем координаты вершины:  

Схематически изобразим график – параболу, ветви направлены вверх.

В этом случае часто допускается стандартная ошибка – нет корней, значит, нет решений. Корней нет у квадратного уравнения, а решением неравенства является любое действительное число.

Множество значений функции

Для более глубокого рассмотрения рекомендуется самостоятельно изучить случаи, когда

1.

2.

3.

Необходимо построить графики и расписать решения стандартных неравенств самостоятельно.

 

Решение задач

 

 

Мы подробно рассмотрели свойства квадратичной функции, которые лежат в основе решения задач.

 

Рассмотрим примеры.

1.  Найти область определения функции.

Область определения функции задается неравенством  т.к. трехчлен находится под корнем и в знаменателе.

Умножим обе части неравенства на .

Рассмотрим функцию  найдем ее корни.

По теореме Виета

Изобразим график функции. Точки -2 и 1 выколотые, т.к. неравенство строгое.

Поставленному условию удовлетворяет промежуток внутри интервала корней.

Ответ:

Мы увидели на примере, что многие задачи сводятся к решению квадратного уравнения.

 

Решение неравенства с параметром

 

 

2.  При каких значениях p данное уравнение имеет

 

два различных корня?

один корень?

не имеет корней?

Если p принимает конкретное значение, мы имеем конкретный квадратный трехчлен с конкретным значением дискриминанта,

Найдем дискриминант.

Рассмотрим функцию

Найдем корни по теореме Виета.

Рассмотрим ось p и график функции  Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Функция сохраняет положительный знак вне интервала корней, отрицательный знак – внутри интервала.

Ответ: Уравнение имеет

1. два различных корня, когда

2. один корень, когда

3. не имеет корней, когда

 

19. Заключение

 

 

Мы рассмотрели решение линейных и квадратичных неравенств, некоторые свойства квадратичной функции, которые используются при решении квадратных неравенств.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Раздел College.ru по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1.Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.№№ 8; 9; 15.