Математика

Рациональное уравнение, примеры

 

Рациональным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида  где  рациональное выражение (т.е. алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень).

 

Например:

 

 

Решением уравнения с двумя переменными называется пара чисел, которая обращает уравнение в верное числовое равенство.

 

Пример линейного уравнения

 

 

Ранее мы рассматривали линейное уравнение с двумя переменными  Линейное уравнение имеет бесчисленное множество решений, график линейного уравнения – прямая линия.

 

Рассмотрим пример:

Найти хотя бы одно решение уравнения

Зададим    – решение уравнения

Если задана одна переменную, то вторую можно найти.

Итак, основные понятия сводятся к следующему:

 называется уравнением с двумя переменными. Частным решением такого уравнения называется любая пара чисел , которая удовлетворяет уравнению. Но наша задача – найти все решения этого уравнения, т.е. множество всех пар чисел, которые удовлетворяют уравнению.

 

Пример уравнения окружности

 

 

Мы рассмотрели линейное уравнение, теперь рассмотрим уравнение

 

Вспомним, что  уравнение окружности с центром в т.(0;0) и радиусом 1 (Рис. 1).

Любая точка на этой окружности имеет две координаты – x и y, и эти координаты удовлетворяют уравнению, значит, координаты любой точки на окружности являются решением данного уравнения.

Например,  

 является решением уравнения.   также является решением уравнения.

 

Основные понятия

 

 

Иногда удается перейти к геометрической (графической) модели уравнения с двумя переменными, т. е. построить график уравнения. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

 

Мы рассматриваем одно уравнение с двумя переменными. Частным решением этого уравнения является любая пара чисел, ему удовлетворяющая.

Геометрический образ этой пары – точка на плоскости. Множество всех пар называется решением данного уравнения.

Графиком уравнения называется такая линия, координаты всех точек которой удовлетворяют данному уравнению.

Графиком уравнения  является окружность. Графиком линейного уравнения является прямая линия.

 

Уравнение окружности и линейное в общем виде

 

 

Рассмотрим уравнение окружности и линейное уравнение в общем виде.

 

Уравнение окружности в общем виде:  Это окружность с центром в и радиусом R.

Дадим геометрическую интерпретацию данного уравнения (Рис. 2).

Координаты любой точки на этой окружности – это пара чисел, которые удовлетворяют уравнению окружности.

 

Методы решения уравнений с двумя переменными

 

 

Далее вспомним линейное уравнение с двумя переменными в общем виде:  

 

Графиком данного уравнения является прямая. Мы неоднократно строили графики линейных уравнений, отметим только, что каждая точка данной прямой дает пару чисел, являющихся решением уравнения.

Каким образом решаются уравнения с двумя переменными ? Как правило, сложное заменяется более простым, но равносильным ему. Два уравнения с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одинаковые решения. Замена данного уравнения более простым, но равносильным ему, называется равносильным преобразованием уравнения. Два основных равносильных преобразования – это перенос членов одной части в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Неравносильные преобразования – это освобождение от знаменателя, возведение в квадрат.

 

Система уравнений с двумя переменными

 

 

Если поставлена задача найти такие пары чисел , которые одновременно удовлетворяют уравнению  и уравнению , то получаем систему уравнений с двумя переменными 

 

Решением данной системы уравнений называется такая пара чисел, которая является одновременно решением и первого уравнения, и второго. Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет.

Иногда удается решить систему уравнений графическим методом: построить график первого уравнения, построить график второго уравнения, найти точки пересечения графиков; координаты каждой точки пересечения являются решением системы.

 

Графический способ решения системы уравнений

 

 

Рассмотрим графики некоторых уравнений.

 

1. Построить график уравнения:

 Графиком является парабола, ветви направлены вверх (Рис. 3).

2. Построить график уравнения:

Необходимо выделить y, для этого нужно обе части уравнения поделить на x. Но мы не можем это сделать, если  Поэтому рассмотрим два случая – для

График уравнения  гипербола, координаты любой ее точки дают пару чисел – решений исходного уравнения (Рис. 4).

3. Теперь рассмотрим систему и решим ее графически.

Поместим график первого уравнения и график второго уравнения, построенные в предыдущем примере, в одну координатную плоскость (Рис. 5).

Рис. 5.

единственное решение системы уравнений. Подставим для проверки в систему:

 Верно.

Ответ:

Графический метод позволяет решить систему уравнений, но он не всегда удобен.

 

Заключение

 

 

Мы рассмотрели основные понятия, связанные с системой двух уравнений с двумя переменными. Мы рассмотрели одно рациональное уравнение, график этого уравнения, решение системы, графический метод решения системы.

 

Нужны другие методы решения систем, к которым мы перейдем на следующих уроках.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 90 – 94, 103, 104.