Математика

Тема 6: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Урок 2: Теорема о площади треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

Тема 31.

Терема о площади треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ=c, ВС=a, СА=b

S - площадь треугольника.

Докажем, что S=12absinC

Введем систему координат с началом в точке C так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Cx, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=12ah, где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки А, то есть h = b sin⁡ C. Следовательно, S=12absinC

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ = c, ВС = a, СА = b

Докажем, что

asinA=bsinB=csinC

По теореме о площади треугольника

S=12absinC,S=12bcsinA, S=12acsinB

Из первых двух равенств получим

12absinC = 12bcsinA, откуда

asinA=csinC

Аналогично, asinA=bsinB

Итак, asinA=bsinB=csinC

Заметим, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а, СА = bимеют место равенства

asinA=bsinB=csinC=2R

где R — радиус описанной окружности.

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС

АВ = c, ВС = a, СА = b

Докажем, например, что

a2 = b2 + c2 - 2bc cos⁡ A

Введем систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (c;0), а точка С имеет координаты b cos⁡ A; b sin⁡ A. По формуле расстояния между двумя точками, получим:

BC2=a2=bcosA-c2+b2sin2A

a2=b2cos2A+b2sin2A-2bccosA+c2

a2=b2cos2A+sin2A-2bccosA+c2

a2=b2+c2-2bccosA

Найти площадь ∆ABC, если BC = 3 см, AB=182 см, ∠B = 45°.

По теореме о площади треугольника

S=12BCABsinB

S=123182sin45°

S=12318222

S = 27 см2

Ответ: 27 см2