ЕГЭ Математика

Параллелограмм

Параллелограмм ― это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны равны;
2. Противоположные углы равны;
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
4. Из параллельности сторон вытекает равенство частей углов;
5. Две диагонали делят параллелограмм на две пары равных треугольников;
6. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;
7. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны;
8. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом.

Формулы площади параллелограмма

1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне;

   S = a∙h

2. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними;

   $S=a\bullet b\bullet \sin \left(a\right)$

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними;

   $S=\frac{1}{2}\bullet d1\bullet d2\bullet \sin \left(a\right)$

Задача №1. Стороны параллелограмма ABCD равняются 12 см и 20 см, угол меду ними составляет 30°. Найдите площадь параллелограмма.

1 способ

$S=6\cdot 20=120\mathit{с}{м}^2$

2 способ

$S=12\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=120\mathit{с}{м}^2$

Ответ: 120

Прямоугольник

Свойства прямоугольника:

1. диагонали прямоугольника равны;
2. стороны прямоугольника являются его высотами

$S\left(\mathit{прям}\right)=a\bullet b$

Ромб ― это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

1. диагонали ромба являются биссектрисами его углов;
2. диагонали ромба перпендикулярны.

$S\left(\mathit{ромб}\right)=\frac{1}{2}\bullet d1\bullet d2$

Квадрат – прямоугольник, у которого равны все стороны. Он сочетает в себе свойства и ромба, и прямоугольника. Любой квадрат является ромбом и прямоугольником, но не любой ромб или прямоугольник является квадратом.

$S\left(\mathit{квадрат}\right)=a^2$