ЕГЭ Математика

Треугольники

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. В зависимости от углов в треугольнике выделяют три основных вида: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.

Свойства треугольников

1. сумма углов в треугольнике равна 180 градусов: α + β + γ = 180°.
2. против большей стороны находится больший угол; против меньшего угла находится меньшая сторона.

Элементы треугольников

1. биссектриса ― луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.

   Теорема о биссектрисе: «Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

   

   $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}$или $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AB}}$

2. медиана ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

   

   Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

   Медиана, проведенная к гипотенузе из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

   

3. высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).

   

   Если высота проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, то такая высота в квадрате равна произведению отрезков гипотенузы.

   Из прямого угла C треугольника ABC опущена высота CH, которая делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB, тогда CH² = AH ∙ HB

   

4. серединный перпендикуляр треугольника — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через его середину.

   

5. средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Также средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

   

   В равностороннем треугольнике (треугольнике с равными сторонами и равными углами) все три высоты совпадают с медианой и биссектрисой.

   В равнобедренных треугольниках высота, проведенная к основанию, является и биссектрисой, и медианой.

Площадь треугольника

1. Через высоту: $S=\frac{1}{2}a\bullet h_a$
2. Через две стороны и синус угла между ними $S=\frac{1}{2}a\bullet b\bullet \sin \alpha$
3. Формула Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p=\frac{a+b+c}{2}$