Физика

Нечто, что сохраняется

 

Мы хорошо знаем: если потереть руки друг о друга, то станет теплее; если не пообедать, не будет сил бегать; чтобы санки съехали с горки, их надо туда затащить; чтобы автомобиль ехал, нужно топливо и т. д.

 

Все это люди заметили и начали использовать очень давно: еще древние люди знали, что, если долго тереть друг о друга два куска дерева, они нагреются и могут даже загореться, и использовали это свойство. Но одно дело заметить, использовать и совершенно другое – объяснить, понять и перенести на другие явления. Этим и занимаются ученые – люди, которые умеют удивляться обыденным вещам.

Во всех рассмотренных примерах происходит превращение: что-то одно переходит во что-то другое: например, движение и трение рук (кусков дерева) переходит в теплоту. Ученые задались вопросом: почему трение перешло в теплоту? Куда потом девается это тепло? Что значит перешло? Эти вопросы и привели к созданию теории и модели закона сохранения энергии, о котором мы сейчас и будем говорить.

Кто-нибудь из вас пробовал сгибать-разгибать проволоку, чтобы отломать кусочек? Если она долго не отламывается, то место изгиба заметно нагревается. Здесь тоже движение перешло в теплоту. Что-то похожее происходит и с гвоздем, который нагревается, если по нему бить молотком. То, что мы едим, тоже превращается в нечто совсем другое – кости, мышцы, кожу. Строительный материал для этого всего мы получаем из пищи. Еще пища частично превращается в энергию, а она нужна не только для физических нагрузок, но и вообще для поддержания жизнедеятельности. Мы к таким превращениям привыкли и перестали им удивляться. Но как только мы пытаемся эти явления объяснить, выявить закономерности, они уже не кажутся такими очевидными. Вот с автомобилем, как сходу объяснить: там, в двигателе, что-то горит, а здесь колеса от этого движутся (см. рис. 1)?

Рис. 1. Превращение энергии в автомобиле

Первый шаг мы уже сделали – заметили превращения. Смотрите: движение наших рук с палочкой превращается в теплоту. Как это измерять, мы еще договоримся, но пока можем сформулировать так: полное ли произошло превращение, насколько натерли, настолько и нагрелось? Не обязательно, сохранение энергии, на первый взгляд, не заметно. Одно точно: часть энергии движения превратилась в теплоту. Но если хотя бы часть энергии превратилась, то почему остальная должна исчезнуть бесследно, а не превратиться, логично же? Думаем, во что другое она могла превратиться: ладони нагрелись, палочки не только нагрелись, но и немного разрушились, мы, кроме палочек, двигали еще и руками, что тоже требует энергии. Вот мы и пришли к сохранению: что-то одно превращается в другое, третье, четвертое, но в любом случае сохраняется – не исчезает и не возникает.

---

 

Почему возникла модель флогистона?

В конце XVII века ученые описывали теплоту (то, что мы сейчас называем внутренней энергией) с помощью модели флогистона и пользовались этой моделью около 100 лет. Флогистоном они считали что-то наподобие вещества, некую тонкую материю, которая является носителем теплоты. То есть когда тело нагревается – это значит, что оно наполняется этим «веществом теплоты». При контакте тел с разной температурой оно перетекает из теплого тела в холодное, при горении это «вещество» высвобождается и заполняет собой нагревающиеся тела.

Позже обнаружили, что вещество состоит из движущихся микрочастиц – молекул и атомов, и наше ощущение температуры связано со скоростью движения этих частиц, а не с веществом-флогистоном. От модели «вещества теплоты» отказались.

Но почему эта идея вообще возникла? Человек обнаружил, что что-то сохраняется, как бы перетекает между телами и превращается из одного вида в другой. Где он привык видеть такое сохранение? Энергия – это абстракция, которую мы сами придумали. А сохранение вещества мы наблюдаем непосредственно: мы видим, как перетекает из одного сосуда в другой вода, наблюдаем, как циркулирует газ и т. д. Поэтому «перетекание» тепла описали так, как это было проще понять: как перетекание воды.

---

Выявить закономерности сразу во всем невозможно, мы всегда начинаем с простых моделей и потом их уточняем и усложняем. Поэтому не будем пока говорить о нагревании и горении, начнем с механики. Там у нас уже есть набор инструментов, с которым можно продолжать работать: это модель материальной точки, модель взаимодействия материальных точек, законы Ньютона. Да и непосредственно наблюдать механические явления привычнее и проще. Понятно, что, если ударить ногой по мячу, нога отскочит; если пуля попадает в бронежилет, она его не пробивает, но энергия движения не пропадает бесследно, человек чувствует толчок; на коньках, оттолкнув от себя другого человека, отъедешь сам.

Мы в младших классах вводили понятия импульса и энергии, а также говорили о понятии замкнутой системы. Здесь же мы коротко вспомним, как мы нашли и сформулировали то нечто, что сохраняется. И теперь, когда у нас есть более сложные математические инструменты, мы умеем работать с векторами и не привязываемся к одной оси координат, применим законы сохранения в этой модели.

 

Закон сохранения импульса

 

 

Представьте, что вы столкнулись с идущим навстречу человеком. Очевидно, чем быстрее он шел вам навстречу, тем более сильный толчок вы ощутите. Был ли это быстро бегущий легкий ребенок или медленно идущий тяжелый взрослый – толчки по ощущениям отличаться не будут. Логично предположить, что играет роль произведение массы на скорость. Это подтверждается экспериментально и согласуется с законами динамики Ньютона.

 

Рассмотрим случай, когда на материальную точку действует сила , постоянная на протяжении времени .

Рис. 2. Изменение скорости, вызванное действием силы

По второму закону Ньютона, точка будет двигаться с постоянным ускорением: . За время  скорость материальной точки изменится с  до:

Перенесем  в левую часть уравнения и умножим обе части на :

Как видим, в левой части у нас изменение некой величины: было начальное значение , стало – конечное . Эту величину мы назвали импульсом, , а изменение импульса происходит при действии на тело постоянной силы  на протяжении времени .

Величину  назвали импульсом силы, и записанное выражение можно сформулировать так: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы:

Такую запись называют законом изменения импульса или вторым законом Ньютона, записанным в импульсной форме.

Задача 1. Найти среднее значение силы взаимодействия шаров, если замедленная съемка соударения показана на видеозаписи (см. рис. 3).

Рис. 3. Условие задачи

Масса бильярдных шаров равна 280 г, начальная скорость битка (это шар, который сталкивается с неподвижным) равна 7 м/с.

Анализ условия

В задаче описано движение бильярдного шара и его изменение скорости при взаимодействии с другим шаром. На биток действует сила тяжести и сила реакции опоры, их сумма равна нулю, поэтому их можем не рассматривать. Нас интересует время взаимодействия шаров. Речь о средней силе, значит, считаем, что сила взаимодействия за время  не меняется. Кстати, время взаимодействия  легко найти из видеозаписи, глядя на таймер. Оно равно 300 мкс. Сила трения за это время не успеет повлиять на скорость шаров, ее импульсом за это короткое время можем пренебречь и рассмотреть только взаимодействие шаров.

По третьему закону Ньютона, сила, с которой один шар действует на второй, равна по модулю силе, с которой второй шар действует на первый. Нам здесь удобно рассмотреть биток и силу, которая действует на него, ее значение и будет ответом на вопрос задачи.

Мы здесь заострили внимание и на силе тяжести, уравновешенной силой реакции опоры, и на предположении, что сила взаимодействия шаров постоянна, и на малом импульсе силы трения – после одной-двух задач мы научимся сразу видеть эти ограничения модели. А теперь перейдем к физической части решения задачи.

Применим закон изменения импульса для битка:

На видео видно, что шар после соударения остановился, значит, его импульс стал равен нулю. А начальный импульс  запишем через массу и скорость:

Выберем систему координат. Начальная скорость шара и сила направлены вдоль одной прямой, достаточно одной оси координат, направим ее слева налево (см. рис. 4).

Рис. 4. Система координат

Проекция начальной скорости на эту ось будет равна , т. к. скорость направлена против оси , а значение силы получим положительное:

Все величины известны, осталось выразить и вычислить силу:

Подставим значения, переведя в СИ:

Как видите, для заданного изменения импульса тела, если малó время взаимодействия, должна быть великá сила. Чтобы разогнать тело, можно его либо медленно толкнуть, либо быстрее, но сильнее ударить. А наша задача решена.

Ответ: 6533 Н.

Рассмотрим такую модель: система тел, которые взаимодействуют только друг с другом. Такую систему назвали замкнутой. Это модель, идеализация, не существующая в реальности. Но с ее помощью можно описать реальные системы, если мы решаем, что взаимодействием с телами вне системы можно пренебречь. В модели же этого взаимодействия просто нет. В такой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной. Другими словами, суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется (см. рис. 5).

Рис. 5. Замкнутая система тел

Следующее ответвление, в котором мы с помощью математических преобразований получим закон сохранения импульса, обязательно к ознакомлению для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Математический вывод закона сохранения импульса

Мы записали для одной материальной точки, что изменение ее импульса (конечный импульс минус начальный) равен импульсу силы, которая действует на эту материальную точку:

Рассмотрим систему из  тел, которые в общем случае взаимодействуют между собой и с телами вне этой системы. Запишем для первого тела:

 – это сумма всех сил, действующих на это тело. Запишем силы, с которыми на это тело действуют все тела этой системы: , ,  и т. д., и силу, с которой на первое тело действуют внешние тела, .

Запишем:

Для второго тела аналогично, для третьего:

И так далее, всего  уравнений. Последнее:

Когда мы находим, например, для третьего тела вот эту сумму , там перебираются все , в том числе и 3. Просто считаем, что , сила действия тела самого на себя, равна нулю.

Введем понятие суммарного импульса системы тел: это сумма импульсов всех тел системы, что логично. Он был равен:

а стал равен:

Сложим левые и правые части уравнений, которые мы записали для каждого тела. Слева получится изменение суммарного импульса системы тел, а справа суммарный импульс силы. Силы подчиняются принципу суперпозиции, поскольку мы считаем систему тел как одно целое, поэтому имеем право складывать силы, действующие на его части. Получим слева:

– изменение суммарного импульса. А справа:

Сумма  (возьмем без , на него умножается каждая сила) – это сумма сил , где  и  – это все пары из  тел, и среди них будет как сила, скажем, , так и , и так для любой пары тел. А силы из каждой такой пары, по третьему закону Ньютона, равны по модулю и противоположны по направлению, , и их сумма равна нулю. Помните, мы говорили, что эти силы мы не складываем, так как они действуют на разные тела? Так вот, здесь мы считаем эти тела частью одной системы и, чтобы найти суммарную силу, действующую на эту систему, складываем все силы. Таким образом, сумма , в которой складываются все пары сил между телами системы, равна нулю, остается сумма внешних сил:

Другими словами, изменение суммарного импульса системы тел равно суммарному импульсу внешних сил, действующих на систему. А если сумма внешних сил равна нулю, то есть тела в системе взаимодействуют только между собой (другими словами, система замкнута), то и

Или

В таком виде мы чаще всего и будем применять закон сохранения импульса к замкнутой системе тел.

---

Часто мы решаем задачи, в которых нам не важен процесс изменения скорости, каким было ускорение и т. д. Нас интересуют два состояния тела: начальное и конечное. Как раз для решения таких задач и удобен этот инструмент – импульс. Мы даже не рассматриваем силы, с которыми взаимодействуют тела, и тем более ускорения, изменение скорости со временем – мы смотрим, что до взаимодействия импульсы были такими-то, а стали такими-то. Две такие задачи мы решим на этом уроке чуть позже, а пока рассмотрим еще один закон сохранения.

 

Закон сохранения энергии

 

 

Мы обсудили понятие энергии как чего-то, что сохраняется при взаимодействии тел. Чтобы решать задачи, нужно четко определить понятия и выделить математические инструменты. В младших классах мы определили понятие – работа силы по перемещению тела, ограничились случаем, когда сила и перемещение сонаправлены, . А энергию договорились измерять в единицах работы. Сейчас у нас есть больше математических инструментов, мы умеем работать с векторами – еще раз уточним нашу модель. Мы рассмотрели случай, когда сила не изменяется на протяжении времени , и ввели временну́ю характеристику действия силы: импульс силы .

 

Теперь рассмотрим пространственную характеристику действия силы. Примем в нашей модели, что сила не зависит от положения материальной точки, на которую она действует, и мы ввели пространственную характеристику действия силы – работу силы.

Когда мы вводили работу силы по перемещению тела, мы договорились, что сила выполняет работу, только когда она сонаправлена с перемещением. Если сила перпендикулярна перемещению, она работу не выполняет. А если направлена противоположно перемещению, то работу считаем отрицательной (см. рис. 6).

Рис. 6. Работа при разных направлениях силы и перемещения

Представьте, что мы выталкиваем из снежного заноса автомобиль: толкая сзади, мы выталкиваем его, а если толкаем сбоку, то силы прикладываем, но выталкиванию автомобиля мы никак не помогаем, перемещения в этом направлении нет. Если же сила и перемещение направлены под углом, то работу выполняет только та составляющая силы, которая направлена вдоль прямой перемещения (см. рис. 7).

Рис. 7. Сила, направленная под углом к перемещению

Чтобы описать эти все случаи, у нас уже есть удобный математический инструмент: скалярное произведение векторов. И теперь мы запишем работу как:

Зная модули силы и перемещения и угол между ними, мы можем вычислить их скалярное произведение по формуле:

При решении некоторых задач нас может интересовать не только работа, но и скорость ее выполнения. Для таких случаев мы ввели величину – мощность, и здесь ничего нового:

Работа некоторых сил не зависит от траектории, по которой движется тело, она зависит только от начального и конечного положения. Например, работа силы тяжести при падении тела вертикально вниз с высоты  равна . Вообще значение высоты  неопределенное, смотря над каким уровнем считать высоту. Рюкзак лежит на полке в самолете: он находится на высоте полтора метра над полом в самолете, метр над сиденьем, 5 км над поверхностью земли или 5,5 км над уровнем моря – какая здесь  (см. рис. 8)?

Рис. 8. Изменение энергии в выбранной системе отсчета

Поэтому нужно определиться с какой-то одной системой отсчета, в которой тело переместилось с какого-то уровня  на  и работа равна:

Если тело не падает вертикально, а соскальзывает с наклонной плоскости под любым наклоном или даже если плоскость неровная (см. рис. 9), все равно работа силы тяжести определяется только начальной и конечной высотой  и  и рассчитывается по той же формуле.

Рис. 9. Работа потенциальной силы не зависит от системы отсчета и от траектории

Расчеты, которые это показывают, вы можете увидеть в ответвлении, оно обязательно к ознакомлению для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Работа силы тяжести при движении тела по произвольной траектории

Рассмотрим работу силы тяжести по перемещению тела, когда оно соскальзывает с наклонной плоскости, угол наклона плоскости равен .

Рис. 10. Работа силы тяжести по перемещению тела по наклонной плоскости

Запишем: работа равна скалярному произведению силы на перемещение:

Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между векторами. Угол между силой тяжести и перемещением тела равен . Тогда запишем:

А из прямоугольного треугольника, образованного наклонной плоскостью,  – это как раз изменение высоты , работа равна:

Если плоскость состоит из двух участков, то работу на каждом из них можем вычислить по той же формуле:

А сумма работ на двух участках, то есть общая работа равна:

И сколько бы ни было таких участков, какой бы ни была траектория (любую криволинейную траекторию мы можем сколь угодно приблизить ломаной, см. рис. 11), ответ получается тот же.

Рис. 11. Работа и кривизна траектории

---

Такие силы, работа которых не зависит от траектории, назвали потенциальными, или консервативными.

Посмотрите на уравнение, которое мы получили для работы силы тяжести: это разность некой величины . Ее назвали потенциальной энергией. И из уравнения видно, что мы рассматриваем два состояния,  и , без подробностей процесса перехода между ними. Это инструмент для описания состояния системы. Таким образом, потенциальная энергия тела в данной точке – это работа, которая совершается потенциальной силой при перемещении тела из данной точки в точку, которую мы приняли за нулевую точку отсчета потенциальной энергии.

---

 

Что означает минус в записи

Мы определили начальную и конечную потенциальную энергию,  и  (иногда записываем начальную энергию как , а конечную тогда – просто , или  и ). А теперь мы говорим о ее изменении, разности. Понятно, что разность энергий – это из одной вычесть вторую. Но какую из какой вычитать?

Мы договорились значком «дельта» обозначать изменение величины, равное конечному значению минус начальное значение. В уравнении для работы у нас получилось:

Поэтому в обозначении через , запишем:

И если положительное  – это увеличение энергии, конечное значение больше начального, то  – это уменьшение.

Математика согласуется с описанием физической модели: положительная работа потенциальной силы  равна уменьшению потенциальной энергии . Так как потенциальная энергия – это работа, которую выполнит сила, если тело переместится на нулевой уровень, то когда эта работа выполняется, ее остается выполнить меньше, то есть потенциальная энергия на эту величину уменьшается, все сходится.

---

Кроме силы гравитационного взаимодействия, к потенциальным относится сила упругости, сила электрического взаимодействия. Об электрическом взаимодействии мы будем говорить чуть позже. А потенциальную энергию для пружины можно посчитать, так же посчитав работу силы упругости. Сила упругости, как мы помним по закону Гука, пропорциональна деформации пружины , поэтому по мере перемещения тела она изменяется (см. рис. 12).

Рис. 12. Разбиение сжатия пружины на участки, на которых силу упругости можно считать постоянной

Можно разбить перемещение на малые отрезки, на которых будем считать силу постоянной, и сложить работу на этих отрезках. Не будем это проделывать здесь, запишем сразу ответ:

А потенциальная энергия, возникающая при упругой деформации пружины  относительно недеформированного состояния, равна:

Хорошо, работу потенциальных сил вычислили через изменение состояния системы тел, которые между собой взаимодействуют. Но при действии силы на тело изменяется состояние самого тела: оно разгоняется, ускорение, по второму закону Ньютона, равно: . Решим такую задачу: тело движется равноускоренно под действием равнодействующей силы , найдем работу этой силы. Рассмотрим случай, когда силы и перемещение сонаправлены, тогда:

Распишем силу по второму закону Ньютона через массу и ускорение

А перемещение при равноускоренном движении запишем как , при равноускоренном движении  =

Здесь тоже получили работу равной изменению некоторой величины . Ее назвали кинетической энергией тела: это характеристика состояния движущегося тела. Это выражение, которое мы получили, выписали отдельно и назвали теоремой об изменении кинетической энергии:

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе всех сил, действующих на эту точку. А теперь рассмотрим, какие это могут быть силы, действующие на точку. Допустим, на тело действуют только консервативные силы, их работу можно записать через изменение потенциальной энергии, мы это записывали раньше:

Мы получили закон сохранения энергии! В такой записи не очевидно – давайте преобразуем. Слева у нас изменение кинетической энергии, а справа – изменение потенциальной энергии со знаком минус:

На сколько увеличилась кинетическая энергия, на столько же уменьшилась потенциальная, и наоборот. И мера этого превращения – работа потенциальных сил. Кинетическая и потенциальная энергия превращаются друг в друга – это то, с чего мы начинали урок, с превращений энергии, и теперь мы это записали математически.

Вернемся к нашему уравнению и преобразуем его по-другому, перенесем начальные значения энергии в оду часть, в конечные – в другую:

Сумма кинетической и потенциальной энергии не изменяется, ее начальное значение равно конечному – снова видим сохранение. Для удобства назовем сумму кинетической и потенциальной энергии полной механической энергией и перепишем:

- полная механическая энергия какой была в начальном состоянии, такой и осталась, ее изменение равно:

Все эти записи можно подытожить такой формулировкой, которую назовем законом сохранения полной механической энергии:

В системе тел, в которой действуют только потенциальные (консервативные) силы, полная механическая энергия не изменяется (сохраняется).

А если в системе действуют не только потенциальные силы? Вернемся к уравнению, где мы записали работу всех сил, действующих на тело.

Распишем работу всех сил  через работу потенциальных  и непотенциальных  сил:

Работа потенциальных сил равна минус изменению потенциальной энергии:

И если сумму кинетической и потенциальной энергии мы обозначили как полную механическую энергию, то:

То есть в системе, где действуют непотенциальные силы, полная механическая энергия изменяется, и это изменение равно работе непотенциальных сил. Если работа таких сил отрицательна, например в случае действия силы трения, полная механическая энергия системы уменьшается, мы такое изменение иногда называем потерями механической энергии.

На самом деле это не совсем потери, энергия никуда не пропадает и не «теряется», она превращается в другие виды энергии, например в тепловую, при том же трении. И работа непотенциальных сил – это мера превращения механической энергии в другие виды энергии (как работа потенциальных сил – это мера превращения потенциальной энергии в кинетическую).

Мы получили удобный инструмент для решения задач: если нам нужно рассмотреть переход тела или системы тел из одного состояния в другое, мы можем охарактеризовать эти состояния, применив к ним инструмент – энергию. Попробуем применить наши инструменты для решения задачи – в ответвлении.

---

 

Задача

Задача. Цирковой артист массой 60 кг падает в натянутую сетку с высоты 4 м. С какой силой действует на артиста сетка в нижней точке, если она прогибается при этом на 1 м?

Анализ условия

В задаче описано движение циркового артиста. На него действует сила тяжести, пока он летит и после падения на сетку – сила упругости. Эти обе силы потенциальные, о трении воздуха и других непотенциальных силах ничего не сказано, их действием пренебрежем.

Удобно рассмотреть два состояния системы (см. рис. 13): первое, в момент прыжка артиста, это состояние описано в условии, мы знаем высоту, с которой он прыгал, обозначим ее . Второе состояние выберем в нижней точке, когда сетка максимально деформирована, обозначим деформацию , как раз в этом состоянии нас интересует сила упругости.

Рис. 13. Выбранные для рассмотрения положения артиста

Будем применять закон сохранения полной механической энергии. А силу упругости можно будет найти по закону Гука.

Физическая часть решения задачи

Выберем нулевой уровень, относительно которого будем считать потенциальную энергию. Удобно выбрать его на уровне низшей точки, которой достигает артист. Теперь применим закон сохранения полной механической энергии: начальная механическая энергия равна конечной:

В первом состоянии кинетическая энергия артиста равна нулю, он прыгнул из состояния покоя, его потенциальная энергия в поле силы тяжести равна  – обратим внимание: здесь высота над выбранным нами нулевым уровнем. А сетка в этом состоянии еще не деформирована. Во втором состоянии кинетическая энергия тоже равна нулю, артист в нижней точке остановился. Потенциальная энергия в поле силы тяжести равна нулю, это как раз нулевой уровень высоты, а энергия деформированной сетки равна . Запишем:

А силу будем искать по закону Гука. Нас не интересует направление действия силы, только ее модуль, поэтому запишем по модулю:

Получили простую систему уравнений, которую осталось решить, а физика на этом закончилась. Выразим из первого уравнения коэффициент упругости :

Подставим его во второе уравнение:

Подставим значения, они все заданы в СИ, и вычислим:

Задача решена.

---

 

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновения

 

 

Применим наши модели для решения еще двух задач, в которых описаны типичные случаи столкновения тел. Разобравшись с этими простейшими модельными случаями, мы сможем решить множество других похожих задач.

 

Как ведут себя тела при столкновении? Они могут отскочить друг от друга, а могут сцепиться и продолжить движение как одно целое. Как это описать с помощью наших инструментов?

Когда тела отскакивают друг от друга, это значит, что они деформировались и под действием силы упругой деформации оттолкнулись. Вспомните, как мы определяли упругую деформацию: это такая деформация, после которой тело возвращается в исходное состояние – это наш случай (см. рис. 14).

Рис. 14. Упругая деформация

Сила упругости – это потенциальная сила, поэтому к такой системе тел можно применить закон сохранения полной механической энергии. А так как тела взаимодействуют только друг с другом, то можно применить и закон сохранения импульса (см. рис. 15).

Рис. 15. Сила упругости при столкновении

Когда тела сцепились, как слипаются куски пластилина, они деформируются неупруго, в такой системе полная механическая энергия не сохраняется, есть непотенциальные силы (см. рис. 16).

Рис. 16. Неупругое столкновение

Потери энергии можно вычислить, и это мы сделаем. А закон сохранения импульса мы по-прежнему можем применять, поскольку тела взаимодействуют только между собой, а потенциальная сила или нет – эти понятия мы в законе сохранения импульса не учитывали.

В реальности силы, возникающие при столкновении, не являются идеально упругими или идеально неупругими. Сталкивающиеся тела отлетают друг от друга, часть их механической энергии сохраняется, а часть переходит в другие виды: в звуковую энергию, на трение, на вмятины (а это неупругая деформация). Мы же рассмотрим две идеальных крайности: абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновение.

Задача 2. Два шарика одинаковой массы, которые движутся со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, сталкиваются центрально абсолютно упруго. Определите скорости шариков после столкновения, если они движутся навстречу друг другу.

Анализ условия

В задаче описано столкновение шариков, они взаимодействуют только друг с другом – будем применять закон сохранения импульса. Столкновение упругое – что это значит? Мы немного об этом говорили: при столкновении шариков возникнет сила упругости, которая растолкнет шарики, и они после столкновения будут двигаться раздельно с разными скоростями. Сила упругости – это консервативная сила, а к системе, где действуют только консервативные силы, можно применить закон сохранения полной механической энергии (см. рис. 17).

Рис. 17. Условие задачи 2

Физическая часть решения задачи

Шарики двигались навстречу друг другу, а потом разлетелись. Ось ОХ направим вдоль движения шариков. Применим закон сохранения импульса:

Запишем в проекциях на ось :

Применим закон сохранения кинетической энергии:

Заметим: если бы удар был не центральным и шарики разлетелись бы под углом, мы бы записали закон сохранения импульса в проекции еще и на ось  и была бы система из трех уравнений. На этом физика закончилась, получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными  и , осталось ее решить в ответвлении.

---

 

Математическая часть решения задачи

Учтем, что, по условию, , и после сокращения получим систему уравнений:

Перенесем скорости первого шарика в левую часть, а второго – в правую:

Во втором уравнении разность квадратов разложим на множители:

Разделим второе уравнение системы на первое и получим (первое уравнение просто перепишем):

Решим полученную систему методом сложения и найдем скорости шариков после столкновения:

Как видим, во время упругого центрального столкновения шарики одинаковой массы обменяются скоростями.

Ответ: .

---

Задача 3. Два шарика массами 300 и 200 г, которые движутся со скоростями 4 и 2 м/с соответственно, сталкиваются центрально абсолютно неупруго. Определите, сколько кинетической энергии шариков преобразуется во внутреннюю, если шарики движутся друг за другом (см. рис. 18).

Рис. 18. Условие задачи 3

Анализ условия

В задаче описано столкновение шариков, они взаимодействуют только друг с другом – к такому процессу удобно применить закон сохранения импульса. Столкновение неупругое – о чем нам это говорит? При столкновении шариков не возникает силы упругости, которая бы растолкнула их, то есть они продолжат движение как одно целое, как бы «слипшись». Сила неупругой деформации – это неконсервативная сила, поэтому полная механическая энергия не сохраняется, нам как раз по условию нужно найти, какая энергия преобразуется во внутреннюю.

Физическая часть решения задачи

Шарики движутся горизонтально, изменения потенциальной энергии не происходит, запишем суммарную кинетическую энергию системы двух шариков до столкновения:

И после столкновения:

,

т. к. шарики движутся вместе со скоростью . Уменьшение кинетической энергии  – это и будет та энергия, перешедшая во внутреннюю, которую нам надо будет найти. Применим закон сохранения импульса:

Ось  направим вдоль движения шариков, они, по условию задачи, движутся в одном направлении. В проекции на ось  запишем:

Получили систему уравнений, из которой осталось найти разность . Сделаем это в ответвлении.

---

 

Математическая часть решения задачи

Из второго уравнения найдем скорость после столкновения, все остальные величины в нем известны:

Подставим в уравнение для кинетической энергии после столкновения:

В уравнении для кинетической энергии до столкновения все известно. Можем найти их разность, но сначала проверим их единицы измерения:

И теперь найдем изменение общей кинетической энергии системы:

Ответ: во внутреннюю энергию преобразуется 0,24 Дж.

---

 

Список литературы

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
2. Касьянов В.А. Физика 10. – М.: Дрофа, 2000.
3. М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. Физика: Механика 10. – М.: Дрофа, 2004.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)
4. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Конькобежец массой 70 кг, стоя на льду, бросает в горизонтальном направлении шайбу массой 0,3 кг со скоростью 40 м/с. На какое расстояние откатится конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02?
2. Вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 2 м/с, в конце запасного пути ударяется о пружинный амортизатор. На сколько он сожмет пружину амортизатора, жесткость которой 2,25•10⁶ Н·м?