Физика

Тема 16: Квантовая физика

Урок 3: Квантовая физика. Профильный уровень

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Излучение абсолютно черного тела и гипотеза Планка

В лесу много деревьев, но, если задаться целью, их можно пересчитать. Поэтому говорят, что лес, деревья дискретны. Мир животных тоже дискретен – есть лев, есть бегемот, но бегемотольва нет. Если у животного есть существенные отличия от остальных, то мы выделяем его в отдельный вид.

А вот капли воды в озере уже не посчитаешь – каплю можно разбить на меньшие капли и т. д. Можно считать воду непрерывной. Почему «можно считать»? Потому что модель непрерывности действует только до определенного уровня подробности. Если каплю делить много раз, то мы дойдем до молекул. Если попытаться разделить молекулу воды, то мы получим частицы, которые уже нельзя будет назвать водой. Поэтому теоретически и озеро можно «пересчитать». Дискретность, или непрерывность, выбранной модели будет зависеть от решаемой задачи.

Если при «делении» воды мы смогли дойти до наименьшей частицы, которую еще можно считать водой, – молекулы, то для заряда тела такой наименьшей дискретной единицей будет заряд электрона или протона (это элементарные носители заряда).

Есть ли наименьшая единица у передаваемой энергии? Оказывается, да – на это свойство впервые указал немецкий физик Макс Планк на рубеже XIX–XX веков. Опишем задачу, которую решал Планк, когда выдвинул свою гипотезу. Он изучал излучение тел.

Из уроков предыдущих классов вы знаете, что все тела постоянно излучают электромагнитные волны. Мы тогда выделяли это в отдельный тип теплопередачи и называли эти волны тепловым излучением тела. Спектр теплового излучения (распределение энергии по длинам волн) зависит от температуры и свойств тела. Мы знаем разницу между просто нагретым телом, которое излучает в основном инфракрасное излучение, и раскаленным, которое светится в видимом диапазоне (см. рис. 1).

Рис. 1. Спектры излучения тел, нагретых до разных температур

Суммарная энергия излучения тела (ее можно вычислить как площадь под кривой интенсивности) увеличивается при увеличении температуры. Спектр видимого света простирается от 0,4 до 0,7 мкм, и пик кривой 4000 К расположен в видимой части спектра (бело-желтый цвет). При температуре около 6000 К тело было бы белого цвета (как Солнце).

В классической физике мы бы объяснили тепловое излучение тем, что его создают ускоряющиеся заряженные частицы вблизи поверхности тела. Поскольку ускорения могут быть любыми, спектр излучения должен быть непрерывный (нет выделенных частот).

В конце XIX века благодаря работам Макса Планка стало ясно, что классическое объяснение ошибочно. Немного остановимся на модели, которую рассматривал Планк. Исследовать собственное тепловое излучение реальных тел сложно, так как они еще и отражают излучение, которое их достигает. И мы не можем понять, это излучение собственное или отраженное. Чтобы исключить влияние отражения, исследуют модель абсолютно черного тела. Следующее ответвление, в котором мы подробнее рассмотрим эту модель, обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

Абсолютно черное тело

Абсолютно черное тело – это тело, которое поглощает любое падающее на него излучение. Его можно представить себе, например, как полый объект с небольшим отверстием. Характер излучения из отверстия определяется только температурой стенок полости.

Свет, попавший в отверстие, частично поглощается стенками полости, а частично отражается под случайными углами. При каждом таком отражении излучение будет поглощаться. Поэтому можно считать, что та часть электромагнитных волн, которая покидает полость через то же отверстие, не будет содержать излучения, изначально попавшего внутрь. Это и будет моделью излучения абсолютно черного тела. Эта модель с неплохой точностью описывает тепловое излучение реальных тел.

Возникает вопрос, черное ли абсолютно черное тело в понятиях цвета? «Чернота» абсолютно черного тела – это его идеальное свойство поглощать любое падающее на него излучение. Если при комнатной температуре обычный объект поглощает свет любой длины волны, мы также называем его черным, но здесь это свойство нашего зрения. Например, мы не видим инфракрасный свет, который может излучать этот объект.

Если температура абсолютно черного тела высока, то оно излучает и в диапазоне видимого света. Поэтому абсолютно черное тело может выглядеть красным, белым, голубым в зависимости от температуры.

Итак, как зависит интенсивность теплового излучения от длины волны и в чем здесь нерешаемая задача? Все экспериментально полученные для абсолютно черного тела спектры излучения имеют вид, показанный на рисунке. При повышении температуры тела пик интенсивности излучения увеличивается и сдвигается влево, но всегда значение интенсивности для малых длин волн стремится к нулю, т. е. кривая интенсивности как бы выходит из 0. Никакая теоретическая модель не приводила к такой форме кривой.

Теоретически полученная из классических представлений кривая хорошо согласуется с экспериментом при больших длинах волн. При малых длинах волн экспериментальная и теоретическая кривые ведут себя совершенно по-разному. Теоретическая кривая при малых длинах волн уходит в бесконечность (это несоответствие назвали ультрафиолетовой катастрофой), а экспериментальная стремится к нулю.

В 1900 году Макс Планк построил такую математическую модель теплового излучения, которая приводила к идеальному соответствию теоретического и экспериментального распределений интенсивности излучения абсолютно черного тела. Планк выдвинул гипотезу, что заряды в молекулах на поверхности абсолютно черного тела играют роль излучателей, и сделал два смелых и неожиданных предположения относительно природы этих излучателей (другое слово – осцилляторов, от лат. oscillo – «качаюсь»).

Энергия осциллятора квантуется, т. е. может принимать только определенные дискретные значения энергии: , где – частота осциллятора, – постоянная Планка ().

Каждое возможное дискретное значение энергии определяется квантовым состоянием, обозначаемым числом , . Так, осциллятор в первом квантовом состоянии () имеет энергию , осциллятор во втором квантовом состоянии (n = 2) имеет энергию и так далее.

Осцилляторы излучают и поглощают энергию дискретными порциями. Это случается только при переходе из одного квантового состояния в другое, например из состояния 3 в состояние 2 (или наоборот). Излучаемая или поглощаемая осциллятором порция энергии называется квантом излучения.

Используя эти два предположения, Планк смог вывести теоретическое распределение интенсивности излучения черного тела, совпавшее с экспериментальным распределением. Подробности того, как именно эти два предположения позволили получить нужную кривую, достаточно сложны. Если в двух словах, то ограничение, состоящее в том, что излучение происходит при переходе между разрешенными состояниями, приводит к тому, что кривая идет на спад (рис. 1).

Первое время большинство физиков (и Планк в их числе) считали концепцию квантов лишь искусственным математическим приемом. Они продолжали искать более рациональное объяснение спектра излучения черного тела. Однако вскоре оказалось, что существует много других физических явлений атомного уровня, хорошо согласующихся с гипотезой Планка. Мы не замечаем квантовых явлений, потому что в обычной жизни имеем дело со значениями энергии, огромными по сравнению энергией перехода между квантовыми состояниями.

Квантовые эффекты становятся важными и заметными только на уровне атомов и молекул. Без концепции квантов, т. е. без квантовой механики, невозможно адекватное описание атомов, молекул, процессов излучения и поглощения электромагнитных волн и других субмикроскопических объектов, и явлений. Кстати, верно и обратное. При больших значениях энергии, которые мы наблюдаем на макроуровне (при больших кантовых числах) квантовые эффекты сглаживаются и сближаются с классическими. То есть теория отвечает принципу соответствия, согласно которому новая теория должна не отменять, а дополнять и уточнять старые.

Фотоэлектрический эффект и корпускулярная теория света

К началу ХХ века было обнаружено одно интересное явление, связанное со светом. Оказывается, если взять металлическую пластинку и направить на нее луч света, электроны будут покидать поверхность пластинки, то есть свет выбивает электроны из вещества. Это явление назвали фотоэффектом, или фотоэлектрическим эффектом. Его подробно исследовал русский физик Столетов в 1888-1890 гг., а объяснить его смог Эйнштейн в 1905 году, как раз используя недавно на тот момент выдвинутую гипотезу Планка.

Рассмотрим подробнее, в чем заключалось явление и каковы были его особенности. Экспериментальную установку в опытах Столетова для наблюдения фотоэффекта схематически можно изобразить так (рис. 2).

Рис. 2. Экспериментальная установка для наблюдения фотоэффекта

Фотоэффект – это выбивание электронов из металлической поверхности падающим на нее светом. Такие электроны принято называть фотоэлектронами. В стеклянной трубке, из которой откачан воздух, расположена металлическая пластина E (эмиттер, испускает электроны), соединенная с отрицательным полюсом источника питания. Другая металлическая пластина C (коллектор, собирает электроны) соединена с положительным полюсом.

Свет может проходить через коллектор и падать на эмиттер. Когда трубка находится в темноте, амперметр A не обнаруживает электрического тока. Ток появляется при освещении эмиттера светом определенной длины волны. Наличие тока в цепи означает, что в промежутке между E и C есть поток электрических зарядов – электронов. Это фотоэлектроны, которые излучаются отрицательно заряженным эмиттером и собираются электрически положительным коллектором.

Меняя напряжение между E и C, можно получить зависимость тока от разницы потенциалов. На следующем рисунке это сделано для двух значений интенсивности падающего света. Если не менять интенсивность излучения (световой поток) и увеличивать разность потенциалов, то сила тока увеличивается. При некотором значении она достигает максимального значения – ток насыщения.

Рис. 3. Зависимость тока от приложенного к электродам напряжения

Экспериментально установлено, что ток насыщения прямо пропорционален световому потоку. Это факт иногда называют первым законом фотоэффекта. Экспериментально установлено также, что фототок может существовать и при нулевой или даже отрицательной разнице потенциалов. Это означает, что часть вырванных светом из эмиттера электронов достигает коллектора и при противодействии электрического поля. Следовательно, фотоэлектроны обладают некоторой начальной кинетической энергией.

Существует такое значение напряжения, препятствующего движению электронов, (задерживающее напряжение) , при котором поток электронов прекращается для всех интенсивностей излучения. Это означает, что максимальное значение кинетической энергии фотоэлектронов , т. е. работе электрического поля. Экспериментально было обнаружено, что кинетическая энергия вырываемых светом электронов зависит только от частоты падающего света.

Это формулируется как второй закон фотоэффекта: максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растет с частотой света и не зависит от его интенсивности. Объяснение законов фотоэффекта и ряда других связанных с фотоэффектом явлений невозможно, оставаясь в рамках классической физики. Например, фотоэлектроны образуются только при частоте света, большей некоторой пороговой частоты, характерной для материала эмиттера. Классическая же волновая теория утверждает, что фотоэлектрический эффект должен возникать при любой частоте, если интенсивность света достаточно велика.

Рассмотрим, как теория А. Эйнштейна объясняет явления, связанные с фотоэффектом, используя концепцию квантов. Ключевой факт теории состоит в том, что энергию , которая переносится с излучением и поглощается эмиттером, можно считать локализованной в частице, называемой фотоном. Это назвали корпускулярной теорией света («корпускула» – частица). Фотон может передать свою энергию электрону металла только полностью, т. е. всю «порцию» . Часть приобретенной фотоэлектроном энергии тратится на выход из металла, для этого требуется совершение определенной работы выхода, равной минимальной энергии, которую нужно сообщить электрону, чтобы он покинул металл ( разная для разных металлов).

Оставшаяся после выхода из металла энергия фотоэлектрона – это его кинетическая энергия. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона поэтому равна:

Это выражение обычно называют уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. По сути, это один из вариантов закона сохранения энергии, поэтому уравнение легко запомнить и понять его смысл, можно переписать его в виде . И законы фотоэффекта теперь не выглядят сложными для запоминания, их легко понять и объяснить.

Получается, что кинетическая энергия (и скорость) фотоэлектрона определяется только частотой света и работой выхода, от интенсивности света она не зависит. Согласно Эйнштейну, интенсивность света пропорциональна числу квантов энергии в световом пучке и поэтому она определяет число электронов, вырываемых из металла.

Для каждого вещества фотоэффект наблюдается только при частоте света, большей некоторого минимального значения (). Предельную частоту и предельную длину волны () называют красной границей фотоэффекта. Почему красной? Потому что в видимом спектре красный цвет самый длинноволновый, он на шкале видимых длин волн крайний справа, и аналогично – это крайняя справа длина волны, при которой есть фотоэффект. Конечно, эта длина волны не обязательно соответствует красному цвету.

Это часто формулируют как третий закон фотоэффекта: для каждого вещества существует максимальная длина световой волны, при которой фотоэффект еще наблюдается. Для каждого вещества эта пороговая длина волны своя, поэтому свет одной и той же длины волны может выбивать электрон из одного вещества, но не выбивать – из другого.

Задача 1

Задача 1. Когда свет с длиной волны 350 нм падает на калий, максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 1,31 эВ. Найти:

работу выхода калия;
частоту красной границы;
длину волны красной границы.

Проанализируем условие. В задаче описан фотоэффект, причем описано два случая: первый описан очевидно, есть свет с известной длиной волны, и он выбивает электроны с известной кинетической энергией. А еще сказано о красной границе, то есть свет с частотой красной границы выбивает электроны, его энергии едва достаточно для этого, но кинетическая энергия фотоэлектронов равна нулю. У нас для описания фотоэффекта есть уравнение Эйнштейна, будем его применять к обоим случаям.

Приступим к физической части решения, запишем уравнение фотоэффекта для двух случаев, о которых мы договорились. Первый:

В условии задана не частота падающего света, а длина волны. Частоту и длину электромагнитных волн мы связываем через скорость света:

Второй случай – частота равна частоте красной границы, а кинетическая энергия равна нулю:

Аналогично связь частоты и длины волны:

На этом физика закончилась, получили систему уравнений, которую осталось решить и найти все, что требуется в условии, это будет математическая часть решения. Выразим из второго уравнения частоту и подставим в первое:

Отсюда работа выхода равна:

Из третьего уравнения легко вычислить критическую частоту.

Не будем подставлять работу выхода в общем виде, потому что мы ее все равно будем вычислять. И последнее, выразим из четвертого уравнения системы критическую длину волны:

Перейдем к вычислениям. Кинетическая энергия задана в электрон-вольтах. Можем перевести все в СИ, помня, что 1 эВ – это энергия, которую приобретает электрон с зарядом в поле с разностью потенциалов 1 В, т. е. . А можем считать энергию везде в эВ, тогда нужно взять значение постоянной Планка в , это значение в справочниках обычно есть, либо его можно получить, переведя в .

Вычислим частоту красной границы (используя значения все так же в эВ):

И соответствующую длину волны:

Все ответы получены, задача решена.

Аналогии для описания фотоэффекта

Представьте себе невысоко расположенную ветку, на которой висят яблоки. Попробуем камнем сбить яблоко. Чтобы яблоко оторвалось, нужно совершить работу по разрыву черенка. При энергии камня, меньшей, чем эта работа, яблоко не оторвется. Если энергия камня будет как раз достаточна для отрыва яблока, оно упадет сразу под веткой. Если будем бросать камни сильнее, с большей энергией, то яблоки будут не просто падать, а отлетать от ветки. Избыточная энергия камня, оставшаяся после разрыва черенка, перейдет в кинетическую энергию яблока. А если будем бросать больше камней, то собьем больше яблок, но скорость каждого яблока от этого не изменится.

При фотоэффекте наблюдаются те же процессы, только вместо камня – фотон с энергией , а вместо яблок – электроны. Яблоко может быть спелым, тогда для отрыва его черенка требуется меньшая работа, чем когда яблоко еще не созрело. Работа выхода электрона зависит от материала и состояния поверхности: какой-то материал лучше держит электроны, а от какого-то оторвать электрон легче. Работу выхода можно определить экспериментально: можно освещать материал светом с разной энергией фотонов и заметить, при какой энергии фотонов фотоэффект начинает протекать.

Теория фотоэффекта успешно объясняет и многие другие экспериментальные факты. В частности, поскольку передача энергии электрону происходит дискретной порцией, электрон сразу приобретает всю необходимую для выхода из металла энергию. Поэтому фотоэлектроны появляются при освещении эмиттера немедленно. В классической волновой теории энергия света не сконцентрирована в фотонах, а распределена в волне, поэтому энергию, равную работе выхода, электрон приобретал бы не сразу, на это должно уходить некоторое время. Поэтому классическая физика не может объяснить, почему после включения освещения фотоэффект возникает без задержки (то есть с первым же фотоном, достигшим металла).

Кроме задачи излучения черного тела и фотоэффекта, есть много других явлений, которые можно объяснить в модели квантовой физики. Рассмотрим в ответвлении некоторые из них.

Некоторые явления, объясняемые квантовой физикой

Фотоэффект быстро нашел применение в технике. С его помощью стало возможным создание фотоэлементов – электрических приборов, реагирующих на свет. А с фотоэлементами появились звуковое кино, телевидение, управляемые светом автоматы и пр. Мы сейчас привыкли к автоматически открывающимся или закрывающимся дверям, автоматическому включению уличного освещения и т. п.

Современные фотоэлементы устроены не всегда так, как рассмотренные нами вакуумные экспериментальные установки для наблюдения фотоэффекта. Например, есть полупроводниковые фоторезисторы, сопротивление которых зависит от освещенности, или полупроводниковые фотоэлементы, преобразующие энергию светового излучения в ЭДС. На основе таких фотоэлементов создаются солнечные батареи.

В основе действия всех таких фотоэлементов лежит квантовая идея – при квантовом переходе (изменении квантового состояния системы) излучается фотон, а поглощение фотона изменяет квантовое состояние системы.

Рассмотрим следующее явление – давление света. Да, оказывается, свет оказывает давление на поверхность. Из специальной теории относительности нам известно, что энергия фотона (безмассовая частица, она не существует в состоянии покоя) связана с его импульсом следующим выражением . Соответственно, импульс фотона (направление импульса совпадает с направлением распространения света).

Из квантовой физики , следовательно, . Если фотон поглощается некоторой поверхностью, то энергия и импульс фотона исчезают. Если фотон отражается от поверхности (от зеркала), то энергия фотона сохраняется, а импульс меняет направление на противоположное. Скорость изменения импульса фотона равна силе, с которой на фотон действует поверхность, а по третьему закону Ньютона эта сила равна силе, с которой на поверхность действует фотон. Суммарное действие всех фотонов на поверхность – это световое давление.

Теоретически это делает возможным создание светового паруса, который создавал бы силу тяги за счет давления на него света. Квантовая физика объясняет процессы, которые сопровождают фотографирование. Начнем с фотографирования на пленку.

Поглощение фотона молекулой (или атомом) вызывает изменение квантового состояния молекулы, а следовательно, и конфигурации молекулы. То есть поглощение фотона молекулой – это некоторая химическая реакция. Таким образом, освещение вещества может запустить каскад химических реакций.

Среди таких реакций есть и такие, которые могут изменить цвет вещества, например, при освещении некоторых солей серебра происходят фотохимические реакции, в результате которых соль из светлой становится темной. На этом принципе был разработан процесс фотографирования.

Сейчас широко применимы другие методы фотографирования, в которых при освещении меняются квантовые состояния атомов полупроводников пиксельной матрицы. Так работают камеры современных гаджетов, состояния пикселей матриц могут кодироваться и храниться в виде файлов изображений.

Корпускулярно-волновой дуализм

Квантовая физика родилась из конкретных исследований теплового излучения тел и фотоэлектрического эффекта, но область ее применения значительно шире. Квантовая физика утверждает, например, что при любом взаимодействии света (или другого вида электромагнитного излучения) с веществом свет ведет себя как поток частиц с энергией и импульсом .

В то же время при распространении света в вакууме (т. е. без взаимодействия с веществом) он ведет себя как волна, что проявляется в явлениях интерференции и дифракции света, ведь эти явления с открытием фотоэффекта никуда не делись. Этот подход к рассмотрению известен как корпускулярно-волновой дуализм: одновременная справедливость обеих моделей по отношению к одному и тому же объекту.

Такую двойственность легче понять, если сравнить фотоны с разными частотами. Фотоны с частотами в радиодиапазоне ( порядка ) имеют небольшие энергии, поэтому, чтобы создать заметный сигнал в приемной антенне, понадобится не менее фотонов, которые действуют совместно как единая волна. Их много, как молекул в капле воды. С другой стороны, фотоны гамма-лучей имеют такую большую частоту (), что даже один фотон может оказать заметное действие на вещество (например, нарушить структуру молекулы ДНК), и уже проявляется дискретность. Это отражается даже в названии таких фотонов – -частица.

Более того, оказывается, корпускулярно-волновой дуализм применим не только к фотонам, а вообще любые частицы материи одновременно обладают волновыми и корпускулярными свойствами. Эту революционную идею выдвинул в 1924 году в своей диссертации французский физик Луи де Бройль.

Опытных фактов, поддерживающих такую идею, в то время еще не было, т. е. идея де Бройля была в чистом виде гипотезой. Экспериментальные доказательства появились позже (в 1927 году), когда было показано, что волновыми свойствами обладают всегда считавшиеся материальными частицами электроны. А именно, было обнаружено, что рассеяние электронов кристаллами создает дифракционную картину. В этих опытах дифракционной решеткой для электронных волн являлись регулярные плоские слои атомов в кристаллических областях никеля.

Можно вычислить длину волны, которая соответствует тем волновым свойствам, которые проявляет движущаяся частица. Как мы знаем, у фотонов энергия , а импульс . Из этого следует, что длина волны фотона . Идея де Бройля основывалась на том, что все материальные частицы могут обладать импульсом и, следовательно, каждой из них можно, хотя бы формально, сопоставить волну .

Импульс частицы c массой и скоростью равен mv, поэтому длина волны де Бройля для такой частицы:

а частота колебаний:

Два последних выражения для всех частиц материи приводят в соответствие корпускулярным свойствам (параметры и ) волновые ( и ). Потренируемся в нахождении длин волн де Бройля.

Задача 2

С какой скоростью движется электрон, если его длина волны 5∙10^-7 м?
Какова длина волны электрона, если его скорость 10⁷ м/с?

Проанализируем условие. В задаче два вопроса, по сути независимых друг от друга, но описывающих одно и то же: есть движущийся электрон, и нужно связать его скорость с длиной волны де Бройля. Для этого у нас есть формула, которую можно использовать в готовом виде либо вывести, как мы сделали только что в уроке:

Ответим на первый вопрос, выразим скорость электрона:

Вычислим, подставив значения в единицах СИ. Постоянная Планка и масса электрона – справочные данные.

Или 1,46 км/с. И по той же формуле найдем ответ на второй вопрос:

Задача решена.

Как видим, разгоняя электроны до высоких скоростей, можно добиться значений длины волны де Бройля в сотые доли нанометра, а полученное в задаче значение примерно в 10 000 раз меньше длин волн видимого излучения. Можно ли это как-то использовать? Оказывается, можно сделать микроскоп, в котором использовать не видимый свет, а движущиеся электроны, рассматривая их волновые свойства. И так как их длина волны де Бройля намного меньше, то такой микроскоп позволит рассмотреть намного более мелкие объекты. Об электронном микроскопе подробнее вы узнаете в ответвлении.

Электронный микроскоп

Электронный микроскоп – это пример практического использования волновых свойств электрона. На рисунке показано устройство электронного микроскопа для исследования тонких плоских образцов в проходящем пучке электронов.

Электронный микроскоп во многом похож на обычный оптический (световой) микроскоп, но имеет значительно большую разрешающую способность. Это объясняется тем, что электроны можно разогнать в нем до очень больших значений кинетической энергии, и тогда они будут иметь очень малую длину волны. Ни в какой микроскоп нельзя разглядеть объекты, меньшие длины волны излучения, освещающего образец. В электронном микроскопе длина волны приблизительно в 10⁵ раз меньше, чем в световом. Следовательно, принципиально возможно такое же увеличение разрешающей способности.

Рис. 4. Строение электронного микроскопа

Пучок электронов в микроскопе фокусируется с помощью электростатического и магнитного воздействия. К сожалению, фокусирующие возможности магнитных линз недостаточны, чтобы получить теоретически допустимую разрешающую способность электронного микроскопа. Разрешающая способность типичного электронного микроскопа больше, чем типичного светового микроскопа, только в 1000 раз.

Разумеется, видеть электронное изображение непосредственно как в световом микроскопе мы не можем. Электронное изображение превращается в видимое, когда оно проецируется на флюоресцирующий экран.

Казалось бы, можно использовать не электроны, а электромагнитные волны с такими же малыми длинами волн – почему так не делают? Дело в том, что фотоны с такими длинами волн принадлежат рентгеновскому участку спектра. Они проходят через образец насквозь, не взаимодействуя с ним и не отклоняясь от прямого пути. Образец для таких волн прозрачен. В то же время электроны в электронном микроскопе, обладая зарядом, взаимодействуют с заряженными частицами вещества образца и за счет этого рассеиваются в соответствии с плотностью зарядов в различных участках образца, что и формирует изображение.

Решим задачу на расчет параметров электронного микроскопа.

Задача 3. Разрешающая сила микроскопа сопоставима с длиной волны используемого в нем излучения. Чтобы «увидеть» атом, необходимо разрешение 10^-11 м. Какой для этого должна быть минимальная кинетическая энергия электрона в электронном микроскопе?

Проанализируем условие. В задаче описана работа микроскопа, и, когда говорится о длине волны используемого излучения, в случае электронного микроскопа имеются в виду волны де Бройля, формула для их нахождения у нас есть. Речь идет о кинетической энергии электронов, она равна привычному нам .

Запишем уравнения, которые договорились использовать:

Получили простую систему уравнений, решим ее. Из первого уравнения:

Подставим во второе:

Вычислим:

Ответ получен. Переведем его в эВ и получим или 15 кЭв. То есть для разгона электронов в таком электронном микроскопе нужна разность потенциалов 15 кВ.

Волновая функция

На предыдущих уроках мы обсуждали, как Максвелл пришел к выводу о существовании электромагнитных волн. Он получил уравнения для электрической (E) и магнитной (B) составляющих электромагнитного поля, и оказалось, что их решения математически описывают волну, это так называемые волновые уравнения. В модели квантовой физики, как мы выяснили, электромагнитную волну можно рассматривать как не имеющий массы фотон.

Для волн вещества (волн де Бройля) австрийский физик Эрвин Шредингер в 1926 году предложил другой тип волнового уравнения. В отличие от обычного волнового уравнения уравнение Шредингера учитывает наличие массы покоя у материальных частиц.

Волновое уравнение Шредингера стало ключевым элементом квантовой механики. Его роль в квантовой механике сравнима с ролью уравнений Ньютона в классической механике. Уравнение Шредингера было с успехом применено для квантового описания атома водорода и многих других микроскопических систем.

Решение уравнения Шредингера – волновая функция . Каждая частица представляется своей волновой функцией, которая зависит как от положения частицы в пространстве, так и от времени. Если волновая функция найдена, то соответствует вероятности обнаружить частицу в заданной области.

Похожей моделью можно описать дифракцию света на двух щелях в эксперименте Юнга. Из волновой природы света следует, что на экране есть точки, где в результате интерференции суммарная напряженность электрического поля двух световых пучков равна нулю. Аналогично есть точки, где в результате интерференции суммарная напряженность электрического поля велика. Интенсивность света , поэтому в точках с деструктивной интерференцией освещенность нулевая (экран темный), а в точках, где интерференция конструктивная, освещенность пропорциональна и экран светлый.

Теперь взглянем на эксперимент Юнга с корпускулярной точки зрения. Интенсивность света, падающего на некоторую точку экрана, определяется количеством фотонов, попадающих в эту точку за единицу времени. Соответственно, количество фотонов, падающих на единичную площадь экрана, пропорционально квадрату напряженности электрического поля . Этот результат можно трактовать вероятностно: фотон имеет большую вероятность попасть в то место экрана, где велика величина , и малую вероятность оказаться в области с малым значением .

Для частиц, отличных от фотонов, роль амплитуды волны играет не , а . По аналогии со светом мы можем интерпретировать волновую функцию частицы следующим образом. Значение пропорционально вероятности найти эту частицу в момент в единичном объеме, окружающем . То есть речь идет не о вероятности, а о плотности вероятности (распределении ее в пространстве). Чтобы найти вероятность обнаружить частицу в некоторой области, следует просуммировать значения во всех точках области (то есть проинтегрировать по всей области).

Такой подход приводит к интересным выводам, непривычным для нас, мыслящих понятиями макромира. Пока мы говорили о волновых функциях изолированных частиц, но на самом деле поведение частиц определяется и их окружением. В уравнении Шредингера это учитывается тем, что частицы рассматриваются вместе с окружением, т. е. в уравнение входит потенциальная энергия частицы.

Зависимость может быть разной в разных областях пространства, поэтому и волновая функция может принимать разные значения в этих областях, то есть как-то распределяться в пространстве. Однако требуется, чтобы общее решение было непрерывной функцией.

Рассмотрим в качестве примера такое распределение потенциальной энергии , которая равна нулю при всех (в областях I и III), за исключением отрезка длины (область II), где потенциальная энергия имеет постоянное значение . Функцию подобного вида называют потенциальным барьером. Например, для электрона этот барьер может создаваться электрическим полем. На макроуровне можно провести аналогию с мячом и стеной: на вершине стены мяч имел бы потенциальную энергию .

Итак, рассмотрим частицу, движущуюся в области I вправо и имеющую полную энергию . В классической физике эта частица будет отражена потенциальным барьером и не попадет в область II, потому что в этой области кинетическая энергия частицы была бы отрицательной, что невозможно (по закону сохранения полной механической энергии ). Таким образом, классическая физика не допускает переход частицы с энергией из области I в области II и III.

Рис. 5. Туннельный эффект

А в квантовой механике такой переход возможен (пусть и с небольшой вероятностью). В рассматриваемом примере решение уравнения Шредингера (волновая функция ) существует во всех трех областях и непрерывна. Поэтому теоретически рассматриваемая частица с вероятностью перейдет из области I в область III. Этот переход назвали туннельным переходом. Это явление лежит в основе работы сканирующего туннельного микроскопа, о нем подробнее вы узнаете в ответвлении.

Сканирующий туннельный микроскоп

Сканирующий туннельный микроскоп позволяет получить изображение поверхности образца с разрешением порядка размера атома. Щуп с очень острым концом перемещают в двух направлениях над образцом, сканируя его поверхность. Щуп движется на очень малом расстоянии от поверхности образца, между щупом и образцом имеется разность потенциалов, благодаря которой возникает ток. Поскольку щуп и образец не касаются друг друга, а процесс происходит в вакууме, природа этого тока туннельная. Зазор между щупом и образцом представляет собой потенциальный барьер, подобный тому, который мы описали в уроке.

Электронная система управления поднимает и опускает щуп так, чтобы при сканировании образца поддерживать постоянное значение туннельного тока. Таким образом, вертикальное движение щупа повторяет контуры поверхности и позволяет построить ее трехмерное изображение.

Принцип неопределенности

Когда мы измеряем положение или скорость частицы, встает вопрос о точности измерений. В классической механике мы сами решаем, с какой точностью проводить измерения, в зависимости от задач, которые мы решаем. Но никаких фундаментальных ограничений на точность измерений нет, поэтому раньше считалось, что, в принципе, можно провести измерение с любой заданной степенью точности.

Однако квантовая механика утверждает, что предел точности измерения есть. В 1927 немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал это утверждение в виде принципа неопределенности:

Если положение частицы определено с точностью и одновременно импульс этой частицы измерен с точностью , то произведение этих двух неопределенностей никогда не бывает меньше , т. е. .

Другими словами, физически невозможно одновременно знать точное положение и точный импульс частицы. Если очень мало, то велико и наоборот. То есть мы можем с высокой точностью знать, где находится частица, но не знать почти ничего о ее скорости (и импульсе), либо можем с высокой точностью знать импульс, но не знать, где эта частица находится.

Чтобы понять физическую природу принципа неопределенности, рассмотрим мысленный эксперимент, предложенный Гейзенбергом. Предположим, вы хотите измерить с максимально возможной точностью положение и импульс некоторого электрона. Для этого у вас есть мощный световой микроскоп. Чтобы увидеть электрон и определить его положение, нужно, чтобы хотя бы один фотон провзаимодействовал с этим электроном и затем попал в микроскоп.

При столкновении с электроном фотон передает ему какую-то часть своего импульса. Вы хотите очень точно определить положение электрона (сделать малым), а свет меняет импульс электрона на неопределенную величину, делая большим. Можно использовать фотон с небольшим импульсом, чтобы он меньше влиял на движение электрона. Но длина волны такого фотона будет велика, а от длины волны зависит точность определения положения электрона, мы это обсудили, когда говорили о микроскопах.

Мы записали соотношение неопределенностей и можем использовать его в готовом виде. Иногда можно встретить запись соотношения без коэффициента , оно подойдет для приблизительной оценки точности, но получим ошибку примерно в 10 раз. С математическим выводом соотношения вы можете ознакомиться в ответвлении.

Еще в одном ответвлении решим задачу, в которой найдем неопределенность положения тела на микро- и макроуровнях.

Вывод соотношения неопределенностей

До столкновения импульс фотона был равен . В результате столкновения импульс электрона в направлении оси x изменится на какую-то величину. Изменение значения импульса электрона в направлении оси x после столкновения может достигать величины , т. е. неопределенность импульса может быть порядка . Учитывая, что точность определения положения электрона с помощью фотона – одна длина волны фотона, имеем . Перемножая две неопределенности, получаем . Это нижняя граница для произведения, поэтому .

Полученное нами в результате элементарных рассуждений выражение отличается от полученного Гейзенбергом точного значения только постоянным множителем . Другая форма принципа неопределенности устанавливает предел точности одновременного измерения энергии и времени :

Это означает, что энергию частицы нельзя определить очень точно за очень короткий интервал времени.

Задача 4

Задача 4. Электрон и пуля массой 20 г имеют скорости 500 м/с, определенные с точностью 0,01 %. С какой наименьшей неопределенностью можно найти положения каждого из этих объектов в направлении их движения?

Анализ условия. В задаче речь идет о неопределенности нахождения скорости и положения тел. Будем применять соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Остается записать его для электрона и пули. В задаче спрашивается о наименьшей возможной неопределенности, поэтому можем рассмотреть крайний случай и неравенство заменить уравнением. У нас речь идет не об импульсе, а о скорости, но к скорости при заданной массе тела легко перейти, . Неопределенность скорости в условии задана в процентах от измеренной скорости, обозначим это как . Перепишем с учетом всего сказанного:

Выразим для электрона и аналогично для пули:

(скорости одинаковые)

Вычислим, подставив значения для электрона в единицах СИ:

И для пули:

Получили ответ, задача решена. Как видим, в случае таких масс и скоростей, как у пули (то есть на макроуровне), неопределенность не мешает проводить измерения. Она получается ничтожно малой, меньше погрешности любого измерительного прибора, и мы ее не учитываем. А для электрона неопределенность положения оказалась равной больше миллиметра, что очень много для такого малого объекта.

Список литературы

Физика. Базовый уровень. 11 класс: учебник / В.А. Касьянов. – 7-е изд., перераб. – М.: Дрофа, 2019. – 288 с.
Физика. Углубленный уровень. 11 кл.: учебник / В.А. Касьянов. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2019. – 463 с.
Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М., Физика. 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений – 23-е изд. – М.: 2014. – 400 с.

Домашнее задание

Как изменится работа выхода электронов с поверхности металлической пластины при попадании на нее монохроматической волны света, если длина этой волны увеличится? Свой ответ обоснуйте.
Возможно ли при объяснении давления света руководствоваться волновой теорией света? А возможно ли использовать корпускулярно-волновой дуализм? Свой ответ обоснуйте.

Урок 2

Вернуться к теме Урок 4

Видеоурок: Квантовая физика. Профильный уровень по предмету Физика за 11 класс.