Информатика

 

 

Тема: Компьютер и информация

 

Урок: Практическая работа №1. Позиционные системы счисления

 

1. Позиционные системы счисления

 

 

На этом уроке мы поговорим о позиционных системах счисления. Напомним, что позиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

 

Мы обсудим виды позиционных систем счисления и их связь между собой.

 

2. Вавилонская система счисления

 

 

Идея приписывать цифрам разные величины в за­висимости от того, какую позицию они занимают в за­писи числа, впервые появилась в Древнем Вавилоне примерно в III тысячелетии до нашей эры.

 

До нашего времени дошли многие глиняные таб­лички Древнего Вавилона, на которых решены слож­нейшие задачи, такие как вычисление корней, отыс­кание объема пирамиды и др. Для записи чисел вавилоняне использовали всего два знака: клин верти­кальный (единицы) и клин горизонтальный (десят­ки). Все числа от 1 до 59 записывались с помощью этих знаков, как в обычной иероглифической системе (Рис. 1).

Рис. 1. (Источник)

Все число в целом записывалось в позиционной си­стеме счисления с основанием 60.

Был у вавилонян и знак, игравший роль нуля. Им обозначали отсутствие промежуточных разрядов. Отголоски этой системы счисления мы находим в сохранившемся до наших дней обыкновении делить один час на 60 минут, одну минуту на 60 секунд, пол­ный угол — на 360 градусов (Рис. 2).

Рис. 2. (Источник)

 

3. Десятичная система счисления

 

 

Обычная система записи чисел, которой мы при­выкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления – это пример позиционной системы счисле­ния.

 

Рис. 3. (Источник)

В привычной нам системе счисления для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9). Поэтому ее называют деся­тичной (Рис. 3). Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в 10 раз больше правой. Не только сама цифра, но и ее место, ее позиция в числе имеют определяю­щее значение. Поэтому данную систему счисления на­зывают позиционной.

В десятичном числе 377 = 3 • 100 + 7 • 10 + 7 • 1 цифры 7, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения — 7 десятков и 7 единиц. При перемещении цифры на соседнюю пози­цию ее «вес» изменяется в 10 раз.

Рис. 4. (Источник) 

Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди на­учились называть и записывать числа так, как это де­лаем мы с вами. Начало этому было положено в Древ­нем Египте и Вавилоне. Дело в основном завершили индийские математики в У-УП веках нашей эры. Важным достижением индийской науки было введе­ние особого обозначения для пропуска разрядов — нуля. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили, усвоили и пере­несли в Европу. Получив название арабской, эта сис­тема в XII веке нашей эры распространилась по всей Европе и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила. Сегодня десятичны­ми цифрами выражаются время, номера домов и теле­фонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Время многократно изменяло облик десятичных цифр, пока они не приобрели привычный для нас вид.

Арифметические действия над десятичными числа­ми производятся с помощью достаточно простых опе­раций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью нескольких цифр, на­ходящихся на соседних позициях.

Перевод из одной системы счисления в другую

Основанием системы счисления может быть любое целое число, большее 1.

Однако наибольшее распространение получили системы счисления, основания которых являются степенями 2 (двоичная, четверичная, восьмеричная, шестнадцатеричная), а также троичная.

Может возникнуть вопрос: как может существовать шестнадцатеричная система счисления, если цифр всего 10? Ответ на этот вопрос очень прост: числа 10, 11, 12, 13, 14 и 15 записывают в виде букв A, B, C, D, E, F.

Вообще, как несложно заметить, для записи чисел в любой системе нужно столько же цифр, какое основание у этой системы. Например, в двоичной системе мы используем две цифры 0 и 1, в троичной используются три цифры 0, 1 и 2. В привычной нам десятичной системе счисления используется 10 цифр: от 0 до 9.

Как же переводить числа из одной системы счисления в другую?

Алгоритм достаточно прост. Необходимо делить с остатком число в первой системе счисления на основание второй системы счисления. Полученные остатки, записанные в обратном порядке, и образуют новое число.

Если перевод чисел из одного системы в другую напрямую затруднителен, то можно перевести сначала в десятичную систему счисления, а из десятичной в нужную.

Давайте рассмотрим пример, который разобран двумя способами.

Задача. Перевести число  в троичную систему счисления.

Способ 1. Переведём число  сначала в десятичную систему счисления по уже известному алгоритму:

Теперь переведём число 15 из десятичной системы в троичную также по известному алгоритму:

15 делим на 3:

15	5	1
0	2	1

Записываем полученные остатки в обратном порядке: .

Получаем: .

Способ 2. Переведём число  напрямую в троичную систему.

Для этого поделим его на число 3, только тоже в двоичной системе: .

Получаем:

1111	101	1
0	10	1

Теперь переведём полученные остатки в десятичную систему: 0=0, 10=2, 1=1. Получаем: . То есть, тот же ответ, что и в первом способе.

 

4. Другие позиционные системы счисления

 

 

Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не дога­дываются о существовании других систем счисления.

 

Широкое распространение до первой трети XX ве­ка имели элементы двенадцатеричной системы счис­ления. Число двенадцать (дюжина) даже составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост осно­вания общеупотребительной системы счисления. Дело в том, что число 12 имеет больше делителей (1, 2, 3, 4, 6, 12), чем 10 (1, 2, 5, 10). Поэтому в двенадцатеричной систе­ме счисления более удобно производить расчеты, чем в десятичной. В частности, гораздо легче делить одно число на другое.

Неудивительно, что в XIX веке среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему счисления. И только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов на сторону числа 10. Тем не менее, дюжина достаточно прочно вошла в нашу жизнь: в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов. Влияние двенадцатеричной системы счисления ощущается се­годня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12 или 24 (Рис. 5); чайные и столо­вые сервизы бывают на 6 или на 12 персон (Рис. 6); комплект носовых платков — 12 штук.

Рис. 5. (Источник)

Рис. 6. (Источник)

Рис. 7. (Источник)

Кроме того, закрепилось в нашем языке и выражение «чёртова дюжина», которая означает число 13.

В английском языке числа от 1 до 12 имеют собственные названия, а уже начиная с тринадцатого к ним начинают добавляться окончание teen (Рис. 7).

А вот шведский король Карл ХII в 1717 году увле­кался восьмеричной системой, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную. Только неожидан­ная смерть короля помешала осуществлению столь не­обычного намерения.

Краткая характеристика систем счисления и их применения

Двенадцатеричная система счисления

На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Её происхождение связано со счётом на пальцах, а именно, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счёт от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т. д.

Английский шиллинг состоял из 12 пенсов. В футе 12 дюймов (в ярде 3 фута — делитель для числа 12).

Девятнадцатеричная система счисления

Использует девятнадцать цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — а также символы «+» и «-» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Так как запись знаков внутри цифр достаточно неудобна, то плюс при положительных цифрах не пишут вообще, а отрицательные цифры вместо минуса надчеркивают. Так как 19²=361, то двух таких цифр достаточно для указания 360 направлений, измеряемых целым числом градусов.

Двадцатеричная система счисления

Во французском языке способ образования числительных от 80 до 99 явно указывает на употребление этой системы счисления в прошлом. Например, quatre-vingt-dix (90) в буквальном переводе означает «четыре по двадцать и десять». Не столь сильно выражены следы ее использования в других языках. Однако в большинстве европейских языков, как и в русском, числительные до 20 и после 20 образуются по разным правилам. В русском языке можно заметить также разные правила образования числительных, кратных ста, до 400=20² и после. Английский фунт состоял из 20 шиллингов.

Система счисления с основанием 36

Так как 36=10+26, то 36 — последнее основание, до которого можно «дотянуть» обозначение цифр буквами латинского алфавита по правилу, действующему для шестнадцатеричной системы счисления (с использованием букв латинского алфавита).

Система счисления с основанием 40

Совершенно особое слово «сорок» и часто используемое в русском языке выражение «сорок сороков» явно указывают на употребление в прошлом и этой системы счисления. Числительные, обозначающие десятки, до 40 и после 40 образуются по разным правилам. Это же число 40 является соотношением между русскими единицами веса – пудом (16 кг) и фунтом (400 г).

Чёртова дюжина

Чёртова дюжина – устойчивое выражение в русском языке, которое означает число 13.

Вообще, число 13 считается в нашей стране несчастливым. В некоторых заведениях нет 13 кабинета или офиса.

Откуда же пошло такое верование?

Одна из наиболее популярных версий, что выражение «чёртова дюжина основано на фразе из Евангелия от Иоанна: «Не двенадцать ли вас избрал Я? Но один из вас диавол».

Бытовало суеверие (возможно, связанное с Тайной вечерей): если за одним столом соберутся 13 человек, то один из них умрёт в течение года. Существовала даже профессия «четырнадцатого гостя», которого приглашали на встречу, чтобы избежать несчастливого числа.

В США для борьбы с этим суеверием был создан «Клуб Тринадцати».

Как ни странно, у чёртовой дюжины есть ещё одно название: ее называют пекарской дюжиной, и появилось оно в 19 веке в результате сложившейся традиции – при покупке 12-ти булочек, добавлять еще одну. Эта традиция связана с христианством – число 13 считалось символом Иисуса и 12 апостолов.

При этом числа 13 не боятся в Китае, Индии, Индонезии, Италии, Японии, Корее и Саудовской Аравии.

В самолетах Air France и Lufthansa нет ряда под номером 13.

В то же время это число считается благоприятным в Каббале и у индейцев майя.

Числу 13, «чертовой дюжине», посвящена книга американского журналиста и писателя Натаниэля Лакенмайера, вышедшая в издательстве «Колибри». Лакенмайер задался целью выяснить, как появилось это суеверие (Рис. 8, 9).

 

Рис. 8, 9. (Источник)

Изыскания привели его к выводу, что вера в то, что 13 – несчастливое число, появилась совсем недавно. Расцвет этого суеверия приходится на позапрошлое и прошлое столетия.

Есть множество объяснений происхождения этого поверья: 13 – черное число, потому что в шабаше принимают участие 13 ведьм, потому что в лунном календаре 13 месяцев, потому что в пантеоне скандинавских богов тринадцатым оказывается коварный Локки, потому что день 13 февраля считался у римлян несчастливым для любых начинаний, потому что тринадцатая карта в картах таро означает «Смерть».

На этом уроке мы рассмотрели основные позиционные системы счисления.

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы: «Человек и информация».

 

Список литературы

1. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: Учебник для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012
2. Босова Л.Л. Информатика: Рабочая тетрадь для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
3. Босова Л.Л., Босова А.Ю. Уроки информатики в 5-6 классах: Методическое пособие. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).
2. Информатика (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей "1 сентября" (Источник).

 

Домашнее задание

1. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: Учебник для 5 класса. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.
2. Переведите число 457 из десятичной системы в двоичную.
3. Переведите число 10111001 из двоичной системы в десятичную.