Математика

Функция

 

Пусть  и  – это два множества.

 

Функция  – это соответствие, которое каждому элементу из множества  сопоставляет единственный элемент из множества .

 

Рассмотрим такой пример.

Предположим, есть 4 самолета и 6 городов. Согласно расписанию первый и второй самолет летят в первый город; третий самолет летит в третий город; четвертый самолет летит в пятый город (см. Рис. 1).

Рис. 1. Множество  и

В этом примере множество самолетов – это множество , множество городов – это множество, расписание – это соответствие, которое каждому элементу первого множества (самолетов) сопоставляет единственный элемент второго множества (городов).

Если элемент  из множества  переходит в элемент  из множества , то этот элемент  обозначается .

 – это образ элемента . Множество всех  называется множеством значений функции (областью значений функции). В приведенном примере множество значений функции – это первый, третий и пятый город.

Множество  – это область определения функции.

Рассмотрим еще несколько примеров.

1. Площади

Каждой замкнутой фигуре на плоскости сопоставляется неотрицательное число (ее площадь ) (см. Рис. 2). То есть задается функция.

Рис. 2. Каждой фигуре сопоставляется неотрицательное число (площадь)

Множество  – это множество всех замкнутых фигур на плоскости. Множество  – все неотрицательные числа, то есть луч .

В данном случае множество значений функции совпадает с , то есть множество значений – это луч .

2. Движение

Движение – это такое преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между всеми ее точками.

Множество  – это плоскость (множество всех точек плоскости),  – это движение плоскости, множество  – та же самая плоскость (см. Рис. 3).

Рис. 3. Движение плоскости

 

Числовая функция

 

 

Если даны числовое множество  и правило , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу  из множества  определенное число , то говорят, что задана функция   с областью определения .

 

Областью определения функции  называют множество всех значений , для которых функция имеет смысл.

Множество всех значений функции ,  называют областью значения функции. 

,  

 – независимая переменная (аргумент)

 – зависимая переменная

 – область определения функции

 – область значений функции

 

График функции

 

 

Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где .

 

Пример

Задана функция , , которая показывает изменение температуры воздуха в зависимости от времени года (с весны до весны). Построим график этой функции.

Независимая переменная  – это время; зависимая переменная  – это температура (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции ,

Любая вертикальная прямая  (если  принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как согласно определению функции закон  такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.

Область определения – это проекция графика функции на ось .

Область значения – это проекция графика функции на ось .

 

Аналитический способ задания функции

 

 

Функция, заданная аналитически, – это функция, которая задана формулами. Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что, если у вас есть формула – вы знаете про функцию всё. Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию полностью. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь математический анализ стоит именно на таком способе задания функций. 

 

Примеры:

1. ,  (все натуральные числа) – такая функция называется последовательностью.

Построим график  функции (см. Рис. 5). Это прямая, на которой лежат точки с координатами .

Рис. 5. График функции

Все точки графика функции ,  лежат на построенной прямой (некоторые из них отмечены на рис. 5). Например:

если , то ;

если , то .

Область определения этой функции – это множество всех натуральных чисел.

Область значения этой функции – неотрицательные нечетные числа.

 

 

2.  – такая функция называется линейной. Пара чисел  и  – константы, которые определяют конкретную линейную функцию.

Число  показывает ординату точки пересечения графика функции с осью .

 

Область определения этой функции – это все действительные числа (так как любое число можно умножить на k и результат сложить с ).

Область значений этой функции:

а) все действительные числа, если  (в этом случае имеем наклонную прямую, которая проектируется на всю ось y) (см. Рис. 6);

б) число , если  (в этом случае имеем прямую, параллельную оси x, которая проектируется в одну точку на оси ) (см. Рис. 7).

 

 

, при  

, при 

Рис. 6. Эскиз графика линейной функции при

Рис. 7. Эскиз график линейной функции при

3. , где  – такая функция называется квадратичной. Числа , ,  – константы, которые определяют конкретную квадратичную функцию.

Определим область определения и область значений квадратичной функции на конкретном примере:

 

Для этой функции ; ; .

Построим график этой функции – параболу:

а) определим точки пересечения графика с осью , для этого функцию приравняем к нулю и найдем корни квадратного уравнения (через дискриминант или с помощью теоремы Виета):

 при ;  

б) определим координаты вершины параболы:

 

 

в) ветви параболы направлены вверх, так как  

г) точка пересечения графика с осью  (см. Рис. 8):

 

Рис. 8. График функции

Область определения этой функции – это все действительные числа.

Область значения этой функции – это луч от  до .

 

 

Задача 1

 

 

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

 

Решение

Область значений функции  – это луч от  до  (см. Рис. 8). Следовательно, чтобы уравнение  имело хотя бы одно решение, параметр  должен совпадать с областью значения функции .

Ответ:   

 

Задача 2

 

 

Найдите множество всех значений параметра , при каждом из которых уравнение  имеет два корня разных знаков.

 

Решение

Рассекаем график функции  прямыми  (для различных значений ). Видно, что функция имеет два корня разных знаков при   (см. Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Ответ: .

 

Графический способ задания функции

 

 

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (), а по оси ординат – значение функции (). По графику тоже можно выбрать любой  и найти соответствующее ему значение  (см. Рис. 10). 

 

Рис. 10. Данный график задает функцию

Однако не каждая кривая может задать график функции. Например, кривая на рисунке 11 не задает график функции, так как значению  соответствует несколько значений .

Рис. 11. Данный график не является графическим заданием функции

 

Табличный способ задания функции

 

 

Этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому  соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение . В первой строчке – значения аргумента. Во второй строчке – соответствующие им значения функции, например:

 

 

Словесный способ задания функции

 

 

Функцию можно однозначно задать словами.

 

Пример

Пусть  – это дробная часть положительного числа  в его десятичной записи.

Это означает:                 

если , то

если , то

если , то

Понятно, что при  функция равна нулю. Поймем, как ведет себя функция на интервалах вида , .

Сначала рассмотрим функцию на интервале , на нем . При этом  (см. Рис. 12).

Рис. 12. График функции на промежутке

Аналогично при , функция задается следующим образом: .

На рисунке 13 показана часть графика функции , .

Рис. 13. График заданной функции

Область определения этой функции – это все положительные числа (задано по условию).

Область значений этой функции – это отрезок от 0 до 1, включая 0, но не включая 1.

 

 

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Studyport.ru (Источник).
2. Tutoronline.ru (Источник).
3. Youtube.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 7.6, 7.8, 7.21 (а) (стр. 39–41) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник  (Источник). 
2. Найдите область значений функции .
3. Найдите область определения функции .