Математика

 

 

Тема: Многогранники

 

Урок: Многогранники. Призма. Задачи на призму

 

Тема и цели урока

 

 

На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

 

 

Повторение, призма

 

 

На рисунке 1 изображена призма ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁, ее основания ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁. Пятиугольники ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁  равны и лежат в параллельных плоскостях.

 

Рис. 1

Призма – это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы.

Основания призмы – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами.

Вернемся к рисунку 1. В пятиугольнике ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁:

ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁  – основания призмы.

Боковыми гранями являются грани АА₁В₁В, ВВ₁С₁С, CC₁D₁D, DD₁F₁F, FF₁A₁A. А боковыми ребрами – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, FF₁.

 

Прямая призма

 

 

Определение. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма называется прямой.

 

Рассмотрим пятиугольную призму ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁ (рис. 2).

Пусть боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма – прямая. Так как ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС, то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания АВС, в том числе и прямой AF. Значит, боковая грань является прямоугольником.

Рис. 2

 

Параллелепипед

 

 

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1­ (рис. 3) – частный случай призмы. В основаниях призмы лежат параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁.

 

Рис. 3

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такой параллелепипед будет называться прямым параллелепипедом.

Рис. 4

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1­ (рис. 4). Если ребро AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD, то параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1­ прямой.

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Обозначение:  ABCDA₁B₁C₁D_1­  или кратко AC₁.

 

Правильная призма

 

 

Определение. Правильной n-угольной призмой называется такая прямая призма, у которой в основаниях лежит правильный n-угольник.

 

 

Площадь боковой поверхности призмы

 

 

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

 

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы ABCA₁B₁C₁ (рис. 5). Призма ABCA₁B₁C_1­ – прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая призма, т. е. АА₁ ⊥ АВС.

АА₁ = h.

Доказать: S_бок = Р_осн ∙ h.

Рис. 5

Доказательство.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, боковые грани АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙ АА₁ + ВС∙ ВВ₁ + СА∙ СС₁ = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P_осн ∙ h.

Получаем, S_бок = Р_осн ∙ h, что и требовалось доказать.

 

Задача 1

 

 

В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6.

 

Дано: АВСА₁В₁С₁ – призма,

АА₁ ⊥ АВС,

h = АА₁ = 15см,

АВ = BC = CA = a = 10 см.

Найти: S_бок , S_полн.

 

Рис. 6

Решение:

По условию призма прямая. Значит, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания и равно высоте призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности.

S_бок = P_осн ∙ h = P_АВС ∙ АА₁ = 3 ∙ АВ ∙ h = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (см²).

В основании призмы лежит правильный треугольник АВС. Найдем его площадь.

 (см²)

Площадь полной поверхности призмы – это площадь всех ее граней, то есть площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит:

 (см²).

Ответ:  (см²).

 

Задача 2

 

 

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

 

Дано: призма ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 7),

АА₁ = 12 см,

перпендикулярное сечение – ромб со стороной 5 см.

Найти: S_бок

Рис. 7

Решение:

Мы доказали на прошлом уроке, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен  см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

 (см²).

Ответ: 240 см².

 

Задача 3

 

 

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

 

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – призма,

AA₁ ⊥ ABC,

AB ∥ CD, CB = AD,

AB = 9 см, CD = 25 см,

h_трап= 8 см.

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 8

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости α и β, которые пересекаются по прямой СC₁ (рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром СC₁. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка M на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости β – перпендикуляр b, второй перпендикуляр в плоскости α – перпендикуляр a. Тогда угол между прямыми a и b и будет линейным углом двугранного угла.

Рис. 9

Найдем линейный угол при ребре СС₁. Так как ребро СC₁ перпендикулярно всей плоскости ABC, то ребро СC₁ перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым BC и CD. Тогда угол между прямыми BC и CD, а именно угол DCB, является линейным углом двугранного угла при ребре СC₁.

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре АА₁ – это угол ВAD, при ребре DD₁ – ∠ADC, при ребре BB₁ – ∠ABC. Все эти углы являются углами трапеции ABCD. Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 10). Проведем высоты АН и КВ. По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, АН = КВ = 8 см.

Рис. 10

Найдем НК. Прямые АН и КВ перпендикулярны одной и той же прямой DC. Значит, прямые АН и КВ параллельны. Так как АН = КВ, то АНКВ – параллелограмм.  Значит, НК = АВ = 9 см.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то  см.

Рассмотрим треугольник DHA. Он прямоугольный, так как АН ⊥ DC и равнобедренный, так как АН = DH. Значит, ∠HAD = ∠HDA = 45° градусов.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ∠DCB = ∠СDA = 45°, ∠DAB = ∠ABC = 180° - 45° = 135°.

Ответ: 45°, 45°, 135°, 135°.

 

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Физ/мат класс (Источник).
2. 5klass.net (Источник).
3. Ppt4web.ru (Источник).
4. Якласс (Источник).
5. Rutube.ru (Источник).

Домашнее задание

1. У параллелепипеда три грани имеют площадь 1 см², 2 см², 3 см². Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
2. Основание призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
3. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?
4. Найдите площадь поверхности правильной n-угольной призмы, если любое ребро это призмы равно а. а) n = 3; б) n = 4.