Математика

 

 

Тема: Пирамида

 

Урок: Правильная и усечённая пирамиды

 

Правильная треугольная пирамида

 

 

Определение: правильной n-угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, и высота проецируется в центр этого n-угольника (рис. 1).

 

Рис. 1

Правильная треугольная пирамида

Для начала рассмотрим ∆ABC (рис. 2), в котором AB=BC=CA (то есть в основании пирамиды лежит правильный треугольник). У правильного треугольника центр вписанной и описанной окружности совпадают и являются центром самого треугольника. В данном случае центр находится следующим образом: находим середину АВ – С₁, проводим отрезок СС₁, который является медианой, биссектрисой и высотой; аналогично находим середину AC – B₁ и проводим отрезок BB₁. Пересечением BB₁ и СС₁ будет точка О, которая является центром ∆АВС.

Если соединить центр треугольника O с вершиной пирамиды S, то получим высоту пирамиды SO ⊥ ABC, SO = h.

Соединив точку S с точками А, В и С получим боковые ребра пирамиды.

Мы получили правильную треугольную пирамиду SABC (рис. 2).

Рис. 2

 

Стандартные задания на пирамиды (S_осн,S_бок ,h_a)

 

 

Известны стороны основания – а и высота пирамиды – h. Необходимо найти:

 

1. S_осн

2. S_бок  ,h_a

3. ∠(AB)

4. ∠(SC)

Решение:

1. Найти S_осн

Если есть ∆АВС (рис. 3), сторона которого равна а, то

Рис. 3

2. Найти S_бок ,h_а

Отрезок SC₁ называется апофемой h_a(рис. 2). Апофему найдем из прямоугольного треугольника SC₁O. Известен катет SO=h, второй катет С₁О найдем из ∆АВС (рис. 3).

Для начала найдем высоту АА₁ из прямоугольного треугольника АА₁С:

Высота АА₁ состоит из радиуса вписанной окружности r=С₁О и из радиуса описанной окружности R (причем R=2r).

Следовательно

 

Зная катеты ∆SC₁O, мы можем найти гипотенузу

Найдя апофему h_aможно без труда найти

И

 

Стандартные задания на пирамиды (двугранные углы)

 

 

Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды

 

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

3. Найти ∠(АВ)

Двугранный угол при ребре АВ есть угол между плоскостями SAB и ABC. Обозначим его

Избавимся от иррациональности в знаменателе путем умножения и деления выражения на  

Зная тангенс угла, можем найти сам угол

5)∠4. Найти(∠ (SC)

Проведем BP⊥SC и AP⊥SC ,SC, тогда ∠(SC)= ∠APB. Обозначим его как ∠α (рис. 4)

Рис. 4

Для нахождения угла рассмотрим равнобедренный треугольник АРВ. Основание треугольника АВ=а, а боковые стороны найдем из ∆ACS (который тоже является равнобедреннымтреугольником) в).

B ∆SAC S известны основание АС = а и боковые стороны . Необходимо найти высоту ,высоту, проведенную из точки А. Для этого нужно найти площадь треугольника:

Из данного уравнения найдем АР:

По теореме косинусов

Косинус угла однозначно определяет угол в треугольнике, поэтому дальше задача очевидная.

 

Усеченная правильная пирамида

 

 

Усеченная правильная пирамида

 

Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полу суммы периметров на апофему.

Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)

Рис. 5

А площадь всей боковой поверхности

Выводы:

Мы рассмотрели правильную пирамиду и стандартные задачи на нее, включая двугранные углы. А также усеченную правильную пирамиду.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

1. Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида?
2. Сколько ребер у n-угольной усеченной пирамиды?
3. На Рис. 4 мы провели перпендикуляр СР к ребру SC и соединили точку В и Р. Докажите, что ВР⊥SC.
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (точка O – центр основания, S – вершина) боковое ребро SB=13, а диагональ основания AC =24. Найдите длину отрезка SO.
5. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L – середина ребра AC, S – вер­шина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пи­рамиды.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Я Класс (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Интернет-портал Slideshare.net (Источник).