Математика

Прямая призма

 

На этом уроке мы потренируемся решать задачи и закрепим наши знания о многогранниках. Как обычно на практических уроках, ставьте видео на паузу, как только появляется задание, постарайтесь решить задачу самостоятельно. Если не получилось, смотрите решение, снова ставьте на паузу и пробуйте повторить рассуждения. Начнем с задач на прямые призмы, то есть призмы, боковые ребра которых перпендикулярны плоскостям оснований.

 

Задача 1. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями  и . Высота параллелепипеда равна. Найти большую диагональ параллелепипеда (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решение.

Это задача совсем простая. Диагонали параллелепипеда являются диагоналями двух прямоугольников в вертикальных плоскостях. Это прямоугольники  и .

Высоты у них одинаковы, а основания разные. Понятно, что диагональ больше у того, у которого больше длина основания, т. е. у . Ее находим по теореме Пифагора:

Ответ: .

 

Задача 2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна , боковое ребро . Найти площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Решение.

Сечением является равнобедренный треугольник (см. рис. 3), основание которого нам известно:

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Нам осталось найти его высоту  (чтобы воспользоваться известной нам формулой для вычисления площади треугольника – полупроизведение основания на высоту).

Боковая сторона этого треугольника находится как диагональ боковой грани призмы – прямоугольника со сторонами  и , т. е. равна .

Итак, осталось найти площадь равнобедренного треугольника с основанием  и боковыми сторонами . Можно, конечно, воспользоваться формулой Герона, но проще будет вычислить высоту. Найдем высоту треугольника по т. Пифагора:

Тогда площадь сечения равна:

Ответ: .

 

Задача 3. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найти площадь сечения, если катеты равны и , а боковое ребро .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Решение.

Рассмотрим отдельно основание (см. рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3

Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает более длинный катет. Построить сечение не представляет труда. Это прямоугольник, одну сторону которого мы уже знаем,  равно высоте призмы, т. е. .

Найдем вторую сторону прямоугольника . В треугольнике  найдем гипотенузу по т. Пифагора:

Точка  лежит на серединном перпендикуляре гипотенузы, следовательно:

Обозначим длину этих отрезков за  (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

Выразим отрезок  двумя способами:

Решим уравнение:

Осталось найти  по т. Пифагора:

Теперь найдем площадь сечения:

Ответ: .

 

Задача 4. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найти площадь сечения, если сторона основания равна , а высота призмы  (см. рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4

Решение.

Правильная четырехугольная призма – это прямоугольный параллелепипед с квадратом в основании. Построим ее и проведем диагональ основания . Необходимо построить сечение, параллельно диагонали призмы. Это не могут быть диагонали  или , так как  с ними пересекается. А вот диагональ  вполне подойдет (с диагональю  ситуация абсолютно симметричная и площадь сечения будет такой же). Вертикальная плоскость  имеет общую точку  с нашим еще не построенным сечением (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4

Значит, через точку  проходит прямая пересечения этих плоскостей, причем, она должна быть параллельна  (ответьте, почему). Такой линией будет средняя линия треугольника . Теперь мы можем построить сечение (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 4

Найдем площадь сечения, которое представляет собой равносторонний треугольник со стороной :

Найдем его площадь как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

Ответ: .

 

Наклонная призма

 

 

Перейдем теперь к решению задач с наклонными призмами, т. е. призмами, у которых боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.

 

Задача 5. Основание наклонной призмы  – равнобедренный треугольник с боковыми сторонами  и основанием . Боковое ребро призмы составляет угол  с основанием. Вершина  проектируется в точку пересечения медиан нижнего основания. Найти площадь боковой грани  (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 5

Решение.

Т. к.  проектируется на медиану , понятно, что наклон призмы был сделан вдоль этой медианы, т. е. грань  осталась прямоугольником. Чтобы это строго доказать, надо показать, что  и  перпендикулярны .

Мы помним, что все боковые ребра призмы имеют одинаковый наклон, то есть образуют одинаковые углы с плоскостями оснований. Поэтому покажем, что  и  перпендикулярны, тогда остальные боковые ребра тоже будут перпендикулярны . В треугольнике :  – наклонная. Высота  и проекция наклонной  перпендикулярны  ( – медиана в равнобедренном треугольнике, значит, она является и высотой), тогда по теореме о 3-х перпендикулярах, наклонная  тоже перпендикулярна .

Итак,  и  перпендикулярны  и эта грань является прямоугольником. Сторону  мы знаем, она равна . Осталось найти . Но все боковые ребра призмы равны, поэтому найдем . Найдем медиану :

 составляет  медианы (вспомните теорему Архимеда о точке пересечения медиан треугольника), т. е. . Гипотенуза :

Осталось найти площадь грани:

Ответ: .

 

Задача 6. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно , а перпендикулярным сечением является ромб со стороной . Найти площадь боковой поверхности призмы (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 6

Решение.

Такая задача имеет мгновенное решение, благодаря формуле боковой поверхности через поперечное сечение:

Периметр поперечного сечения – это периметр ромба со стороной :

Длина бокового ребра равна:

Тогда площадь боковой поверхности равна:

Но эту задачу можно решить и без использования данной формулы. Вспомним, что боковая грань наклонной призмы – это параллелограмм. Т. к. сечение перпендикулярное, то каждая его сторона является высотой этого параллелограмма, а основанием является боковое ребро призмы. Тогда площадь каждого параллелограмма:

 Таких параллелограммов , значит, площадь боковой поверхности равна

Ответ: .

 

Пирамида

 

 

Рассмотрим теперь задачи, связанные с пирамидой.

 

Задача 7. Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами  и  и площадью . Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна . Найти площадь боковой поверхности (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 7

Решение.

Нетрудно увидеть, что противоположные боковые грани – равные треугольники. Здесь можно сослаться на симметрию или показать, что противоположные боковые ребра равны друг другу, и тогда равенство противоположных граней следует по 3 признаку равенства треугольников. Итак, остается найти площади двух соседних боковых граней.

Найдем высоту  треугольника  (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 7

Т. к. диагонали параллелограмма делят его на  равновеликих треугольника, то площадь  равна:

Тогда, зная основание и площадь треугольника, найдем его высоту:

Найдем высоту боковой грани  ( – высота треугольника  по теореме о трех перпендикулярах) (см. рис. 14):

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 7

Тогда площадь боковой грани:

Аналогично найдем площадь соседней грани (см. рис. 15):

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 7

Найдем высоту боковой грани :

Тогда площадь боковой грани:

Теперь удвоим сумму площадей и получим площадь боковой поверхности:

Ответ: .

 

Следующие два ответвления с решением более сложных задач обязательны к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Задача о треугольной пирамиде

 Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом . Боковые ребра образуют с высотой пирамиды углы . Высота равна . Найти площадь основания пирамиды (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение.

Все боковые ребра имеют один угол с высотой. Тогда это пирамида с равнонаклоненными ребрами. Все боковые ребра такой пирамиды равны и вершина проецируется в центр описанной окружности основания. Т. к.  – тупой, то центр окружности находится вне треугольника.

У прямоугольных треугольников , ,  один острый угол , следовательно, второй тоже. Они – равнобедренные. Тогда радиус окружности равен высоте пирамиды, т. е. . Итак, нам известны в основании радиус описанной окружности и углы. Достаточно ли этого для того, чтобы найти площадь треугольника? Да.

Формула площади через радиус описанной окружности выглядит следующим образом:

При этом мы не знаем ни одной стороны. Но мы можем их выразить из теоремы синусов:

Тогда:

В итоге:

Осталось подставить:

Можно быстрее решить задачу. Если заметить, что в равнобедренном треугольнике  все углы по , то есть, он равносторонний. Тогда стороны основания  и  тоже равны , угол между ними равен . Площадь равна:

Такое решение, конечно проще, но основывается на частном обстоятельстве, и работает только если нужные углы окажутся по . Ну и в первом решении мы получили хорошую формулу для вычисления площади:

Ответ: .

---

 

Задача о четырехугольной пирамиде

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна , а плоский угол при вершине –  (см. рис. 1). Найти:

высоту пирамиды; боковое ребро пирамиды; угол между боковой гранью и плоскостью основания; двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение.

Найдем апофему  (см. рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Т. к. основание – это квадрат, то:

Найдем высоту  по т. Пифагора:

Угол наклона боковой грани найдем через тангенс:

Ребро  найдем по т. Пифагора:

Осталось найти двугранный угол  между двумя боковыми гранями. Построим плоский угол  двугранного угла. Для этого необходимо, чтобы  и  были перпендикулярны  (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Найдем этот угол. В прямоугольном треугольнике  известен острый угол  и гипотенуза . Найдем :

Найдем синус угла :

Тогда:

---

Задача 8. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны  и . Боковое ребро равно . Найти высоту и апофему пирамиды (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 8

Решение.

Итак, нижнее и верхнее основания – равносторонние треугольники. У нижнего стороны равны , а у верхнего – . Проведем апофему . Апофема является высотой равнобедренной трапеции с основаниями  и  и боковой стороной  (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 8

Апофему найти не составляет труда по теореме Пифагора:

Опустим высоту . Т. К. пирамида правильная, то точка  лежит на биссектрисе угла . Тогда угол  равен . Понятно так же, что  перпендикулярен . Это следует по теореме о трех перпендикулярах (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 8

Тогда  – прямоугольный треугольник с острым углом :

Осталось найти высоту пирамиды:

Ответ: .

 

Кратчайшее расстояние на поверхности многогранника

 

 

 Рассмотрим несколько задач на нахождение кратчайшего расстояния между точками на поверхности многогранника.

 

Задача 9. Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных ребер (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 9

Решение.

Легко видеть, что кратчайший путь должен пересечь только одно ребро. Сделаем часть развертки, состоящей из нижней и задней граней (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 9

Т. к. все ребра тетраэдра равны , то полученная фигура – ромб со сторонами . Очевидно, что кратчайшее расстояние будет расстоянием по прямой на развертке, т. е. . Любой другой путь через ребро  будет соответствовать сумме двух отрезков  – по неравенству треугольника (см. рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 9

Ответ: .

 

Задача 10. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно , а плоский угол при вершине равен . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые ребра пирамиды (см. рис 22).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 10

Решение.

Сделаем развертку боковых граней (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 10

Получаем два случая. Если угол , то угол  больше развернутого и кратчайший путь от  до  равен , т. е. .

Если угол , то угол  меньше развернутого и кратчайший путь от  до  равен отрезку  (см. рис 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 10

Зная две стороны треугольника  и  и угол между ними  по теореме косинусов можно найти . Но т. к. треугольник равнобедренный, то его основание находится легко. Оно равно удвоенному произведению боковой стороны на синус половины угла, что легко увидеть по картинке. Таким образом, в нашем случае, длина отрезка  равна:

Ну и граничный случай, когда  можно получить из любого решения:

Ответ: .

 

Список рекомендованной литературы.

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Ин­тер­нет-пор­тал «ru.onlinemschool.com»
2. Ин­тер­нет-пор­тал «math24.ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «reader.lecta.rosuchebnik.ru»

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами  и  и углом  между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна . Найти площадь боковой поверхности призмы.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна , а боковые грани наклонены к нему под углом . Найти площадь сечения, проведенного через среднюю линию основания параллельно боковой грани.
3. Ребро правильного октаэдра равно . Найти кратчайшее расстояние по поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных ребер.