Математика

Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

 

Мы выделили базовые объекты стереометрии – точку, прямую, плоскость.

 

Точка может принадлежать прямой или плоскости, а может не принадлежать (см. рис. 1). Здесь все интуитивно понятно.

Рис. 1. Точка  принадлежит прямой , точка  не принадлежит прямой

Поговорим о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Рассмотрим две прямые. На плоскости у нас было всего два варианта – прямые пересекаются или не пересекаются (параллельны) (см. рис. 2).

Рис. 2. Пересекающиеся прямые  и , параллельные прямые  и

Эти два варианта останутся и в пространстве, если прямые лежат в одной плоскости. Но две прямые могут и не лежать в одной плоскости.

Рассмотрим прямую и произвольную точку, которая на ней не лежит. Как мы уже знаем, они задают плоскость. Понятно, что мы можем провести через точку множество прямых, не принадлежащих данной плоскости (см. рис. 3).

Рис. 3. Через точку плоскости можно провести множество прямых, не принадлежащих данной плоскости

Понятно, что все такие прямые не могут пересекать исходную прямую (иначе бы они имели две общие точки с плоскостью, а значит, принадлежали бы ей).

Кроме того, легко доказать, что любая из этих прямых не может лежать с исходной в одной плоскости. Действительно, если бы это было так, то через прямую и не лежащую на ней точку мы бы провели две различные плоскости, что противоречит теореме, которую мы доказали на предыдущем уроке.

Итак, получаем три возможных варианта взаимного расположения прямых в пространстве.

1.      Пересекающиеся прямые: понятно, что они лежат в одной плоскости (см. рис. 4).

Рис. 4. Пересекающиеся прямые

 

2.      Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, но не пересекаются (см. рис. 5).

Рис. 5. Параллельные прямые

 

3.      Скрещивающиеся прямые. Не лежат в одной плоскости. Т.е. не существует плоскости, проходящей через эти две прямые (см. рис. 6).

Рис. 6. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые мы часто встречаем в жизни. Обратите внимание, что по рисунку обычно нельзя понять – скрещиваются прямые или пересекаются (см. рис. 7).

Рис. 7. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Когда мы смотрим на следы от самолетов в небе, то может казаться, что их траектории пересеклись (см. рис. 8), хотя они могли лететь на разных эшелонах (разной высоте) (см. рис. 9) и их следы были частью скрещивающихся, а не пересекающихся прямых.

Рис. 8. Следы от самолетов в небе

Рис. 9. Самолеты летят на разной высоте

А вот траектории двух кораблей (если предположить, что они движутся по прямой) обязательно пересекутся (ведь корабли движутся на одной «высоте», то есть, грубо говоря, по плоскости) (см. рис. 10). Но это не приводит к столкновениям, так как в роли третьей координаты (компоненты) выступает время – в точке пересечения корабли оказываются в разное время.

Рис. 10. Пересечение траекторий кораблей

Наконец, еще один пример – провода в электрической схеме. Если они пересекаются, значит, в этой точке есть контакт (см. рис. 11). А как быть, если провода не соприкасаются? Для этого придумали специальное обозначение (см. рис. 12). Оно показывает, что в данном случае электрические провода – скрещивающиеся прямые и не лежат в одной плоскости.

Рис. 11. В точке есть контакт

Рис. 12. Нет контакта (провода не соприкасаются)

Мы уже знаем, что плоскость можно задать парой пересекающихся прямых. Можно добавить теперь еще способ – пара параллельных прямых также однозначно задает плоскость (см. рис. 13).

Рис. 13. Пара параллельных прямых однозначно задает плоскость

Если рассмотреть две случайные прямые в пространстве, то вероятность того, что они окажутся в одной плоскости, равна нулю. То есть они наверняка будут скрещивающимися. Если мы все-таки потребуем, чтобы они были в одной плоскости, то они окажутся пересекающимися. Параллельность же будет самым маловероятным событием.

Перейдем к взаимному расположению прямой и плоскости. В планиметрии такого вопроса не существовало. Плоскость была всего одна, и все прямые лежали в этой плоскости.

В стереометрии мы сформулировали аксиому: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

То есть прямая может полностью принадлежать плоскости. Если же она ей не принадлежит, то у нее не может быть больше одной общей точки с этой плоскостью.

Получаем еще два варианта расположения: прямая пересекает плоскость в одной точке или у прямой и плоскости нет общих точек. Здесь уже скрещиваемости быть не может: плоскость делит пространство на две части, и не пересекающая ее прямая должна лежать только в одной из этих частей, так что интуитивно ясно, что в этом случае прямая параллельна плоскости (см. рис. 14).

Рис. 14. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Каждому варианту соответствует свое определение.

Прямая лежит в плоскости, если все ее точки принадлежат плоскости (см. рис. 15).

Рис. 15. Прямая  лежит в плоскости

Прямая пересекает плоскость, если только одна точка прямой принадлежит плоскости (см. рис. 16).

Рис. 16. Прямая  пересекает плоскость  в точке

Прямая параллельна плоскости, если ни одна точка прямой не принадлежит прямой (см. рис. 17).

Рис. 17. Прямая  параллельна плоскости

При переходе от планиметрии к стереометрии мы часто указываем на объекты, которые являются аналогами. Например, круг и шар – это аналогичные фигуры. Круг можно назвать двумерным шаром. У них идентичные определения с оговоркой на количество измерений.

Аналогом прямой на плоскости является плоскость в пространстве. Почему так, понять не сложно: у пространства – 3 измерения, у плоскости – 2, у прямой – 1. Получается, что у прямой на плоскости на 1 измерение меньше, чем у самой плоскости. Аналогично у плоскости в пространстве.

Такие объекты называют гиперплоскостями (прямая – гиперплоскость для плоскости, плоскость – гиперплоскость для пространства). Но для нас это не так важно.

Мы воспользуемся этой аналогией для определения возможного взаимного расположения двух плоскостей в пространстве. Вспомним, что две прямые на плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными.

Аналогично плоскости в пространстве могут или пересекаться, или быть параллельными (см. рис. 18). Параллельными плоскости мы будем называть, если они не имеют общих точек.

Рис. 18. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

 

Признаки параллельности прямых и плоскостей

 

 

Рассмотрим несколько важных утверждений, которые следуют из рассмотренных ранее аксиом и определений.

 

В планиметрии была теорема о трех параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу. Такое свойство объектов называют транзитивностью, вспомним из алгебры:

Транзитивностью обладает и параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Так, если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу:

Это утверждение можно использовать в качестве признака параллельности прямых.

Чтобы доказать эту теорему, нам понадобится вспомогательная теорема (лемма).

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к лемме

Хоть это утверждение и кажется очевидным, но, так как оно не является аксиомой, его нужно строго доказать. Доказательство можно посмотреть ниже.

---

 

Доказательство леммы

Пусть прямые  и  параллельны и  пересекает плоскость  в точке  (см. рис. 20). Докажем, что прямая  тоже пересекает плоскость .

Рис. 20. Иллюстрация к доказательству

Так как прямые параллельны, то существует плоскость , в которой они обе лежат. Точка  принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, плоскости пересекаются, причем по некоторой прямой , проходящей через точку  (см. рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к доказательству

Так как эта прямая лежит в обеих плоскостях, то в плоскости  лежат все три прямые , , . Так как через точку  не могут проходить две параллельные прямые для , то  пересекает  в некоторой точке . Но тогда  – общая точка и для прямой , и для плоскости .

Получается, что прямая  или пересекает плоскость , или лежит в ней. Но лежать в плоскости  они не может, иначе бы она лежала в обеих плоскостях, а такая прямая у нас уже есть – это . Таким образом, остается только один вариант:  пересекает плоскость .

Доказано.

---

Доказательство теоремы о транзитивности параллельных прямых

Пусть .Чтобы показать, что они параллельны друг другу, нужно показать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Отметим точку  на прямой  и проведем через прямую  и эту точку плоскость  (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к доказательству

Покажем, что прямая  лежит в этой плоскости. Если бы прямая  пересекала плоскость , то, по лемме о параллельных, прямая  тоже пересекала бы эту плоскость, а вслед за ней и прямая  по той же лемме. Но  лежит в плоскости, а не пересекает ее. Следовательно,  не пересекает плоскость . А так как она имеет с ней общую точку , значит, она лежит в плоскости .

Итак, прямые  и  лежат в одной плоскости. Могут ли они пересекаться? Если бы такое случилось, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, обе параллельные , что невозможно. Следовательно, они не пересекаются, а значит, параллельны.

Доказано.

 

Сформулированная нами лемма позволяет доказать признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Доказать это утверждение легко.Если прямая  параллельна прямой , которая лежит в плоскости , то а не может пересекать , иначе, по лемме о параллельных,  обязана тоже пересекать , чего быть не может. Следовательно, прямая  параллельна .

Верно и обратное утверждение.

Если прямая параллельна плоскости, то в плоскости есть прямые, ей параллельные.

Доказательство

Построить такую прямую легко. В самом деле, пусть прямая  параллельна плоскости  (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к доказательству

Проведем через нее плоскость , которая пересекает плоскость  по прямой  (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к доказательству

Прямые  и  будут параллельны. В противном случае они бы пересеклись, так как лежат в одной плоскости . Но тогда бы прямая  пересекла плоскость , а она ей параллельна.

Понятно, что таких прямых  в плоскости  бесконечно много. Чтобы их получить, нужно чуть-чуть повернуть плоскость  вокруг прямой . Или просто построить любую прямую в плоскости , которая параллельна прямой .

Доказано.

 

Теперь мы можем получить еще один признак параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна плоскости, то все прямые, параллельные данной прямой, либо параллельны плоскости, либо лежат в ней (см. рис. 25).

Понятно, почему так. Если бы какая-то прямая пересекла плоскость, то все ей параллельные прямые тоже должны были бы это сделать по лемме о параллельных прямых, включая и исходную прямую, чего быть не может.

Рис. 25. Иллюстрация к признаку параллельности прямой и плоскости

 

Параллельное проектирование

 

 

Мы уже обсудили основные правила, которые нужно соблюдать при изображении пространственных фигур на плоскости. Теперь у нас есть достаточно фактов, чтобы описать эти правила более формально.

 

Задача в следующем: есть пространственная фигура, нужно изобразить ее на плоскости (на листе бумаги). Самым простым способом (но не единственным) является параллельное проектирование.

Его идея состоит в том, чтобы все точки фигуры переносить параллельно в одну сторону до тех пор, пока они не попадут на плоскость изображения (см. рис. 26). Пример параллельного проектирования – тень на стене от предмета, освещенного солнечными лучами (см. рис. 27).

Рис. 26. Изображение пространственной фигуры на плоскости

Рис. 27. Тень на стене от предмета, освещенного солнечными лучами

Рассмотрим основные свойства параллельного проектирования. Чтобы начать параллельное проектирование необходимы две вещи.

Плоскость, на которую будем осуществлять проектирование, т. е. на которой будем получать изображение фигуры. Ее так и назовем – плоскость изображения или плоскость проектирования. В примере с тенью – это поверхность стены. Направление проектирования. Оно задается прямой, вдоль которой будет происходить проектирование. В примере с тенью это будет любая прямая, расположенная параллельно солнечным лучам. Понятно, что данная прямая не должна быть параллельна плоскости изображения, иначе никакого изображение не получится.

Итак, пусть есть плоскость изображения  и прямая  – направление проектирования (см. рис. 28).

Рис. 28. Плоскость изображения  и направление проектирования

Рассмотрим точку . Проведем через нее прямую, параллельную . Точка , в которой она пересечется с плоскостью , называется изображением (проекцией) точки .

Рис. 29. Через точку  проведена прямая, параллельная  и пересекающая плоскость  в точке

Если точка принадлежит прямой , то изображением будет точка пересечения самой прямой  с плоскостью. Если же точка сразу лежит на плоскости, то она сама и будет своим изображением.

Пусть теперь есть некая фигура  (см. рис. 30).

Рис. 30. Фигура

Построим параллельным переносом изображения (проекции) всех точек этой фигуры. Полученная плоская фигура  и будет проекцией исходной фигуры на плоскость  (см. рис. 31).

Рис. 31. Полученная плоская фигура

Рассмотрим, как проецируются прямые и отрезки при условии, что они не параллельны прямой .

Проекция прямой есть прямая (см. рис. 32).

Рис. 32. Проекция прямой

Проекция отрезка есть отрезок (см. рис. 33).

Рис. 33. Проекция отрезка

Параллельные отрезки проецируются в параллельные отрезки (см. рис. 34).

Рис. 34. Проекции параллельных отрезков

Проекции параллельных отрезков пропорциональны самим отрезкам. Это следует непосредственно из теоремы Фалеса (см. рис. 35).

Рис. 35. Проекции параллельных отрезков пропорциональны самим отрезкам

Легко видеть, что если отрезок или прямая параллельны прямой , то их изображением будет точка. Следовательно, при выборе направления проектирования следует избегать такой ситуации.

Например, если мы делаем параллельную проекцию куба, то если какие-то ребра будут параллельны направлению проектирования, в качестве изображения мы получим квадрат (см. рис. 36). Это формально верное изображение, но вряд ли оно будет для нас информативным.

Рис. 36. Параллельная проекция куба

Изображение многогранника сводится к изображению его граней, т. е. плоских фигур.

Исходя из свойств, которые мы перечислили, можно сделать следующие выводы.

1. Любой треугольник изображается любым треугольником (см. рис. 37).

Рис. 37. Параллельная проекция треугольника

2. Параллелограмм изображается параллелограммом, причем прямоугольник и ромб тоже изображаются произвольным параллелограммом (см. рис. 38).

Рис. 38. Параллельная проекция параллелограмма

3. Трапеция изобразится трапецией, но не произвольной. Отношение длин оснований будет сохраняться (см. рис. 39).

Рис. 39. Параллельная проекция трапеции

4. Проекцией окружности будет эллипс (см. рис. 40).

Рис. 40. Параллельная проекция окружности

 

Теорема

Если плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проекции, то сама фигура и ее изображение будут равными.

Доказательство

В самом деле, пусть для фигуры  проекцией является фигура  (см. рис. 41).

Рис. 41. Иллюстрация к доказательству

Выберем на исходной фигуре  две точки:  и . Их изображения –  и . Фигура  – параллелограмм (см. рис. 42), следовательно, .

Рис. 42. Иллюстрация к доказательству

Это значит, что вектор  переводит любую точку  в ее образ . Следовательно, фигуры  и  конгруэнтны (совпадают при наложении), а это и есть определение равных фигур.

Доказано.

При построении проекций объемных тел изображение видимых ребер сплошными линиями, а невидимых – пунктирными, конечно, не следует из свойств параллельного проектирования. Эта договоренность призвана указать на ориентацию многогранника или иного тела в пространстве.
Если у куба изобразить все ребра сплошными линиями, то не ясно, какая грань ближняя, а какая дальняя. При пристальном взгляде эти грани начинают меняться местами.

Если выбрать, какие ребра не видны, и изобразить их пунктиром, то неопределенностей с ориентацией не возникнет.

 

Решение задач

 

 

Рассмотрим несколько практических задач.

 

Пример 1.

Сторона  треугольника  параллельна плоскости , а его стороны пересекают плоскость в точках  и . Доказать, что треугольники  и  подобны (см. рис. 43).

Рис. 43. Иллюстрация к примеру 1

Доказательство

Для начала отметим, что оба треугольника лежат в одной плоскости треугольника .

Далее плоскость треугольника проходит через прямую , параллельную плоскости  и пересекает плоскость  по прямой , значит, прямые  и  параллельны.

Задача свелась к планиметрической: в треугольнике  отрезок  параллелен основанию . Осталось доказать подобие треугольников  и . Это сделать легко:

(соответственные при параллельных прямых  и ) (см. рис. 44).

Рис. 44. Иллюстрация к примеру 1

Треугольники, у которых два угла попарно равны, подобны по признаку подобия.

Доказано.

 

Пример 2.

Дан тетраэдр. На серединах его ребер построен четырехугольник. Определить его тип (см. рис. 45).

Рис. 45. Иллюстрация к примеру 2

Решение

Начнем с того, что четырехугольник в пространстве не обязан быть плоским, т. е. его вершины могут не лежать в одной плоскости. Неплоский четырехугольник легко получить из плоского, немного согнув его по диагонали. Каков же наш четырехугольник?

Рассмотрим грань . Она является треугольником, а  в нем – средняя линия, которая параллельная основанию . Рассмотрим грань . В этом треугольнике средняя линия  тоже параллельна основанию . Следовательно,  параллелен .

Но тогда через эти два отрезка можно провести единственную плоскость. И все четыре вершины окажутся в этой плоскости. Итак, наш четырехугольник оказался плоским и у него есть пара параллельных сторон  и .

Но аналогично , так как они параллельны  каждый.

Итак, в четырехугольнике противоположные стороны оказались попарно параллельны. Он параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

 

Скрещивающиеся прямые

 

 

Пока мы больше говорили о параллельных и пересекающихся прямых. Поговорим немного о скрещивающихся прямых. Для них есть простой и удобный признак.

 

Теорема

Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются (см. рис. 46).

Рис. 46. Иллюстрация к теореме

Для доказательства нужно показать, что данные прямые не лежат в одной плоскости.

Доказательство

Итак, предположим, что существует плоскость, в которой лежат обе прямые (см. рис. 47).

Рис. 47. Иллюстрация к доказательству

Тогда эта плоскость проходит через прямую  и точку , т. е. совпадает с первой плоскостью, а значит, и прямая  лежит в плоскости, которую она должна на самом деле пересекать. Получили противоречие. Таким образом, прямые не могут лежать в одной плоскости, т. е. они скрещиваются.

Доказано.

Теорема

Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, и притом только одну (см. рис. 48).

Рис. 48. Иллюстрация к теореме

Доказательство

В самом деле, пусть есть две скрещивающихся прямые  и . Через точку  проходит единственная прямая , параллельная прямой  (см. рис. 49).

Рис. 49. Иллюстрация к доказательству

Две пересекающиеся прямые задают плоскость. Так как , лежащей в этой плоскости, то . Итак, мы построили плоскость, проходящую через  и параллельную .

Почему она единственная? Любая другая плоскость, проходящая через  будет пересекаться прямой , но тогда, по лемме о параллельных, она будет пересекаться и прямой .

Через прямую  тоже проходит плоскость, параллельная прямой . Нетрудно увидеть, что эти плоскости будут параллельны друг другу.

Докажем этот факт от противного. Проведем через  плоскость, параллельную  (см. рис. 50).

Рис. 50. Иллюстрация к доказательству

Если предположить, что она пересечет первую плоскость, то у них будет общая прямая. Это прямая не может пересекать , иначе плоскость будет иметь общую точку с , а ведь она ей параллельна. Кроме того, эта прямая параллельна самой прямой , а следовательно, и . Т. е. эта прямая параллельна обеим пересекающимся прямым, чего не может быть.

Таким образом, через каждую из двух скрещивающихся прямых проходят плоскости, параллельные друг другу.

Доказано.

Пример 3.

В параллелепипеде через скрещивающиеся прямые  и  проходит пара параллельных плоскостей – левая и правая грани (см. рис. 51).

Рис. 51. Иллюстрация к примеру 3

Возьмите в руки два карандаша и расположите их параллельно. Легко видеть, какую плоскость они задают. Если вы совсем немного повернете один карандаш, но не в их общей плоскости, то карандаши станут скрещивающимися (см. рис. 52). При этом они еще очень близки к параллельности. Поворачивая карандаш еще, мы все дальше будем уходить от параллельности.

Рис. 52. Скрещивающиеся карандаши

Таким образом, возникает вопрос об угле между скрещивающимися прямыми. Чтобы дать ему формальное определение, воспользуемся равенством углов с сонаправленными сторонами.

Теорема

Пусть стороны двух углов попарно параллельны и сонаправлены. Тогда эти углы равны (см. рис. 53).

Рис. 54. Иллюстрация к теореме

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Доказательство теоремы

Каждая пара сонаправленных лучей задает плоскость.

Эти плоскости имеют две общие точки  и  – вершины углов, а значит, они пересекаются по прямой  (см. рис. 55).

Рис. 55. Иллюстрация к доказательству

Отложим на соответствующих лучах равные отрезки:

Получили два четырехугольника в каждой плоскости, которые являются параллелограммами, так как у них две противоположные стороны равны и параллельны.

Тогда ,  и   равны и параллельны. Тогда четырехугольник  тоже параллелограмм. Тогда треугольники  и  равны, следовательно, .

---

Вспомним, что в планиметрии для двух пересекающихся прямых меньший из полученных углов считается углом между прямыми. Т. е. угол между ними не больше . Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Теперь перейдем к разговору, что такое угол между скрещивающимися прямыми.

Выберем произвольную точку . Она может лежать на одной из прямых или нет.

Проведем через эту точку две прямые, параллельные, соответственно, одной и второй из скрещивающихся прямых. Угол между этими пересекающимися прямыми назовем углом между скрещивающимися прямыми (см. рис. 56).

Рис. 56. Угол между скрещивающимися прямыми

Если точку брать на одной из скрещивающихся прямых, то дополнительно строить придется только одну прямую. Понятно, что, если точки выбирать в других местах, мы будем получать равные углы, потому что у них будут сонаправлены стороны.

Пример 4.

Угол между скрещивающимися прямыми  и  в параллелепипеде равен углу между прямыми  и . Если параллелепипед прямоугольный, то угол между скрещивающимися ребрами равен  (см. рис. 57).

Рис. 57. Иллюстрация к примеру 4

 

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 класс. Учебник. – М.: «Просвещение».
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 класс. Учебник. – «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – М.: «Просвещение».

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru
2. Интернет-портал mathematics.ru
3. Интернет-портал reader.lecta.rosuchebnik.ru

 

Домашнее задание

1. Дан треугольник . Плоскость, параллельная прямой , пересекает сторону  этого треугольника в точке , а сторону  – в точке . Найти длину отрезка , если , .
2. Нарисовать параллельную проекцию прямоугольника, а в нем – две оси симметрии.
3. По рисунку указать скрещивающиеся прямые, проходящие через ребра куба; диагонали граней и диагональ куба.